一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵（或复方阵）全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k\u003e0，使得k║·║是极小范数

把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数，它自动满足对向量范数的相容性

注：1.上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开复盖定理)，从而上面的连续函数可以取到最值。

2.显然，单位矩阵的算子范数为1。

常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是：

1-范数： (列和范数，A每一列元素 绝对值之和的最大值)(其中第一列元素绝对值的和,其余类似)；

2-范数：的最大奇异值 (欧几里得范数，谱范数，即A'A 特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置 共轭矩阵)；

∞-范数： (行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值)(其中为第一行元素绝对值的和，其余类似)；

其它的p-范数则没有很简单的表达式。

对于p-范数而言，可以证明，其中p和q是共轭指标。

简单的情形可以直接验证：，一般情形则需要利用。

有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的Frobenius范数(也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数)： (A全部元素平方和的平方根)。容易验证F-范数是相容的，但当时F-范数不能由向量范数诱导()。可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。例如定义是由x作为列的矩阵。由于向量的F-范数就是2-范数，所以F-范数和向量的2-范数相容。

另外还有以下结论：

1、矩阵的谱半径和范数的关系

定义：A是n阶方阵，λi是其特征值，。则称特征值的绝对值的最大值为A的 谱半径，记为ρ(A)。注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来，谱范数是指A的最大奇异值，即A^H*A最大特征值的算术平方根。谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。

2、谱半径和范数的关系是以下几个结论：

定理1：谱半径不大于矩阵范数，即。

因为任一特征对。两边取范数并利用相容性即得结果。

定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得

定理3(Gelfand定理)：。

利用上述性质可以推出以下两个常用的推论：

推论1：矩阵序列… 收敛于零的充要条件是。

推论2：级数 .. 收敛到的充要条件是。