不变因子是λ-矩阵理论中的概念，λ矩阵(λ)最后化成的史密斯标准型，其对角线的元素d₁(λ)，d₂(λ)，...，dₐ(λ)称为(λ)的不变因子。

设 是n阶一矩阵，k是小于等于n的某个正整数，如果 的所有k阶子式的最大公因子(它是首一多项式)不等于零，则称这个多项式为 的k阶行列式因子，记为。如果 的所有k阶子式都等于零，则规定 的k阶行列式因子为零。

定义

设 是一矩阵的非零行列式因子，则

称为的不变因子。

相抵的λ一矩阵有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子。

证明我们只需证明行列式因子在任意一种初等变换下不变就可以了，对第一种初等变换，交换λ一矩阵的任两行，显然A(λ )的i阶子式最多改变一个符号，因此行列式因子不改变。

对第二种初等变换，A(λ )的i阶子式与变换后矩阵的i阶子式最多差一个非零常数，因此行列式因子也不改变。

对第三种初等变换，记变换后的矩阵为B(λ )，则B( λ)与A(λ )的i阶子式可能出现以下3种情形：子式完全相同；B(λ )子式中的某一行(列)等于A(λ )中相应子式的同一行(列)加上该子式中某一行(列)与某个多项式之积；B(λ )子式的某一行(列)等于A( λ)中相应子式的同一行(列)加上不在该子式中的某一行(列)与某个多项式之积，在前面两种情形，行列式的值不改变，因此不影响行列式因子，现在来讨论第三种情形，设 为B(λ )的t阶子式，相应的A( λ)的i阶子式记为，则由行列式性质得

其中 由A( λ)中的i行与i列组成，因此它与A( λ)的某个i阶子式最多差一个符号，是乘以某一行(列)的那个多项式，于是A( λ)的行列式因子，故，这说明，可整除B(λ)的所有i阶子式，因此 可整除B(λ )的i阶行列式因子，但B( λ)也可用第三种初等变换变成A( λ)，于是，由于 及 都是首一多项式，因此必有。

设n阶 λ一矩阵A( λ)的法式为

其中 是非零首一多项式且，则A(λ )的不变因子为 ．特别，法式和不变因子之间相互唯一确定。

证明 由定理1，A(λ )与 有相同的不变因子，的不变因子为，从而它们也是A(λ )的不变因子。

设A(λ )，B( λ)为n阶 λ一矩阵，则A(λ )与B( λ)相抵当且仅当它们有相同的法式。

证明 若A( λ)与B( λ)有相同的法式，显然它们相抵，若A( λ)与B( λ)相抵，由定理1知A( λ)与B( λ)有相同的不变因子，从而有相同的法式。

n阶 λ一矩阵A(λ )的法式与初等变换的选取无关。

证明 设 是A( λ)通过不同的初等变换得到的两个法式，则 与相抵，由推论2可得。

数域 上n阶矩阵A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 和 具有相同的行列式因子或不变因子。

证明 显然不变因子与行列式因子之间相互唯一确定，再由定理2，推论1及推论2即得结论。

之后特征矩阵的行列式因子及不变因子均简称为A的行列式因子与不变因子。

设 是两个数域，A，B是 上的两个矩阵，则A与B在 上相似的充分必要条件是它们在 上相似。

证明 若A与B在 上相似，由于，它们当然在 上也相似，反之，若A，B在 上相似，则 与 在 上有相同的不变因子，也就是说它们有相同的法式，但在求法式的过程中只涉及多项式的加、减、乘及数的加、减、乘、除运算，而数域在加、减、乘、除运算下封闭，数域上的多项式在加、减、乘及数乘下也封闭，因此由推论3，法式中的不变因子多项式 仍是 上的多项式，与初等变换相对应的初等矩阵也是 上的 一矩阵，这就是说存在 上的可逆 一矩阵，使

从而

即 与 在 上相抵，由定理2可得A与B在 上相似。