艾森斯坦级数(艾森斯坦级数) - 知青百科zhiqingwang.shzq.org

艾森斯坦级数

在数学中，艾森斯坦级数是一类可直接表成级数的模形式，由费迪南·艾森斯坦首创。对于一般的约化群，罗伯特·朗兰兹也发展了相应的理论。

模群的艾森斯坦级数

固定整数，对上半平面上的复数，定义艾森斯坦级数为：

此级数是上半平面上的全纯函数，此外它更是模群的权模形式。换言之，若满足，则

递回关系

模形式理论中的一个基本事实是：模群的模形式俱可表为与的多项式。作为特例，以下说明如何将艾森斯坦级数递回地表成的多项式。

置，遂有下述关系式：

在此是二项式系数而。

函数可以表示卡尔·魏尔施特拉斯函数：

傅立叶展开

置，由于艾森斯坦级数是模群的模形式，故有傅立叶展开式：

其中的傅立叶系数是

此处的是伯努利数，是伯恩哈德·黎曼ζ函数，而是n的正因数的p次幂和。

当，对q之和亦可化成兰伯特级数

有时也会考虑常数项等于一的艾森斯坦级数：

拉马努金公式

拉马努金给出了许多有趣的艾森斯坦级数关系式，定义：

则有：

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条目作者

概述

模群的艾森斯坦级数

递回关系

傅立叶展开

拉马努金公式

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