弱哥德巴赫猜想，是哥德巴赫猜想的衍生版本。1742年，哥德巴赫在给数学家
莱昂哈德·欧拉的信中提出了一个数学假设，该假设用现代数学术语可表述为：任何大于5的整数都可以表示为3个质数之和；
长城欧拉在回信中提出了一个等价的版本，即任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和，例如8=5+3。由此，可进一步推导出：任何大于5的
奇数都可以表示为3个质数之和，这即被称为“弱哥德巴赫猜想”。
据《自然》杂志报道，
加利福尼亚州大学的华裔数学家
陶哲轩在证明“弱哥德巴赫猜想”方面取得了显著进展；他在一篇论文中证明，奇数可以写成5个质数之和；目前，这篇论文已提交至学术刊物并处于审稿阶段。2013年，
秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫（Harald Helfgott）成功证明了弱哥德巴赫猜想。
较早的关于这一猜想的特殊的或在一定条件下的研究成果如下：1923年，
英国数学家
戈弗雷·哈代和
李特尔伍德证明若
广义黎曼猜想成立，弱哥德巴赫猜想对所有足够大的
奇数成立。1937年，
苏联数学家
维诺格拉多夫证明哈代和李特尔伍德的结论可以在不依赖广义黎曼猜想的情况下直接得到证明。维诺格拉多夫原始的证明，由于使用了Siegel–Walfisz
定理，无法给出“充分大”的下界。他的学生K. Borozdin在1956年证明3^3^15是充分大的。然而这一数字有6,846,169位，要验证比该数小的所有数是完全不可行的。
2002年，
香港大学的廖明哲与
王天泽把“充分大”的下限降至e^3100，即约2*10^1346。不过这仍然超出了
计算机验证的范围（计算机仅对10^18以下的数验证过强
哥德巴赫猜想，弱哥德巴赫猜想的验证范围比此略多）。不过这一下限已经足够小，使得比其小的单个
奇数都可以用现有的
素性测试来验证，如
椭圆曲线素性测试已被用来验证多达26,643位数的素性。
1997年，
德国数学家Deshouillers、
瑞典数学家Effinger、
荷兰数学家te Riele与
英国数学家Zinoviev证明，在
广义黎曼猜想成立的前提下弱哥德巴赫猜想是完全成立的。这一结果由两部分构成，其一是证明了大于10^20时弱哥德巴赫猜想成立，而小于此数的情况则由
计算机验证得到。
法国数学家Olivier Ramaré于1995年证明，不小于4的偶数都可以表示为最多六个素数之和，而Leszek Kaniecki则证明了在黎曼猜想成立的前提下，
奇数都可表示为最多五个素数之和。2012年，
澳大利亚数学家
陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。
2012年到2013年，
秘鲁数学家
哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文，将这个下界降至了约10^30。贺欧夫各特的同事 David Platt 用
计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。