高斯函数（英文：Gauss 函数）是一类特殊函数。一般地，形式如f(x)=Ae-ax^2的函数，称为高斯函数，其中a为实参数且A大于0。

在19世纪以前，在天文学领域有一个经典的问题，即数据结合问题。1809年，德国数学家、物理学家和天文学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（英语：Carl Friedrich Gauss,1777~1855）发表了数理天文学著作《绕日天体运动理论》(Theory of the Motion of the Heavenly Bodies Moving about the Sun in Conic Sections），书中的谈到了对该问题的看法，并介绍了高斯推导出误差正态分布的过程，给出了最早的高斯函数的简单形式，即正态分布N(0,σ)的概率密度函数。后来，在得到拉普拉斯中心极限定理的支持后，经由朗伯·阿道夫·雅克·凯特勒和高尔登等人的努力，高斯函数成为数理统计学之中重要的统计模型之一。

除了正态分布的密度函数之外，高斯脉冲信号也是一种高斯函数。高斯函数具有几个基本性质：如它是光滑函数，且其各阶导函数都是连续的；高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数。基于高斯函数的特殊性质，可构建统计模型与小波分析模型，应用于生物学、图像处理、气象学和工程学等各种领域。

在19世纪以前，在天文学领域有一个经典的著名问题，即数据结合问题：“当对同一目标的若干次观测结果不同时，如何处理这些数据？或如何利用观测数据对观测目标的真值进行估计？”最早提出“数据结合问题"的时间可以追溯到公元前的巴比伦和古希腊时期，虽然很久以前就以取算术平均数的方法来处理这一问题，但并无理论根据。

1809年，约翰·卡尔·弗里德里希·高斯发表了数理天文学著作《绕日天体运动理论》，书中谈到了有关数据结合问题的内容。高斯介绍了预测行星轨道的方法，同时证明了“观测误差服从正态分布”，得出观测参数的估计为算术平均值，并给出了简单正态分布的概率密度函数，即正态分布的概率密度函数。

1812年，法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在著作《概率的分析理论》中，把早期中心极限定理的理论进行了扩展，并首次引入特征函数对中心极限定理进行证明，指出二项分布可用正态分布逼近。在得到拉普拉斯中心极限定理的支持后，经由朗伯·阿道夫·雅克·凯特勒和高尔登等人的努力，高斯函数成为数理统计学之中重要的统计模型之一。

高斯函数适用于描述数学、自然科学和工程学中的许多过程，在信号和图像处理领域有重要作用。例如，在信号传输或处理过程中由于各种随机因素所引起的噪声，即高斯噪声，其分布概率密度函数是高斯函数型；在图像处理中，点光源通过衍射受限透镜成像，由于衍射在焦点处形成的光斑，其中以第一暗环为界限的中央亮斑，即艾里斑可近似地用二维高斯函数来表示。

定义：一维高斯函数为式中

类似地，可得二维高斯函数的定义:

该函数图形如下图所示，函数曲线下的体积等于若则二维高斯函数可表示成：

若用极坐标表示，令则有

正态分布（normal distribution）亦称常态分布、误差分布、高斯分布。在概率论和统计学中，正态分布的概率分布密度函数是高斯函数。

定义：若随机变量取不超过实数的值的事件概率为

式中为实参数，且，则的分布称为（一维）正态分布，简记为

正态分布的密度函数：

设被测量的真值为误差密度为则观测得到的概率与成比例，可得个独立测量值为的概率与成比例。

令

上式中被称为独立测量值的似然函数。

由最大似然估计法可得:

上式的最大值问题可等价于的最大值问题。

故对求导，并令得:

根据观测值的算术平均值是真值最合理的估计，即是已经应取的估计，从而式应是由式解得的值。

引入辅助函数则

故求解只求解由为偶函数，可知为奇函数，即

令且则有

则可将化简得

显然左式对一切自然数及实数均成立。

由引理：已知连续函数是定义在上的奇函数，对任意自然数及实数

均有则(其中为常数)。

可得出即

又从而

故

可知常数且函数随增大而减小，故常数须小于

则可令即

那么确定常数即可得出概率密度函数的解析式。

已知密度函数在整个实数域上的积分值为即

令可得

又因为即可得

密度函数的解析式是由数学家约翰·高斯在研究天文观察误差过程中推导出来的，称为正态分布的的概率分布密度函数。

类似地，正态分布的密度函数，即高斯函数为

其中，实参数分别是正态分布的数学期望和方差。

对于高斯脉冲信号它在时域中的持续时间是无限的并且其频谱密度函数

是高斯函数，其在频域中的频谱分布也是无限的。这时其有效脉冲宽度和有效频带宽度可以根据能量求得。

例如，有效脉冲宽度可定义为在时域中绝大部分能量集中的那一段时间，即

式中,表示在时间宽度内的能量占总能量的百分数，通常取

同理，有效频带宽度可定义为在频域中绝大部分能量集中的那一段频带，即

导函数的定义：设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点有一增量时，函数相应地有增量若当时，增量比的极限，即

存在，就称该极限值为函数在点处的导数，记为

或

即也称函数在点可导或导数存在。

高斯函数的各阶导函数

令则上式可化简为

一阶导数：

二阶导数：

三阶导数：

阶导数：

高斯函数是光滑函数，且其各阶导数都是连续的。

反常积分的定义：设函数在区间上连续，任取一有限数

积分存在，称极限为函数在区间上的广义积分，

记作即

高斯积分是无穷区间上的反常积分。

高斯积分的定义：一般地，形如包含高斯函数的定积分称为高斯积分。作的变量变换，则可将高斯积分写成另一种形式：

高斯函数的积分

令可得高斯积分

因为高斯函数从到的积分为即则可得到的高斯积分为

类似地，可以得到高斯函数从 到的高斯积分

定义：通过积分运算把属于某函数类的函数通过含参变量的积分变为另一函数类中的函数是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核,称为像原函数,称为的像函数。特别地，当核函数时，即

称为函数的傅里叶（Fourier）变换。

高斯函数的傅里叶变换

高斯函数的傅氏变换式为：

令则上式积分变为一复变函数的积分，即

根据复变函数的积分性质和柯西积分定理，可得高斯函数的傅里叶变换为：

高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数。

高斯误差函数以符号表示，其中表示自变量，表达式称为高斯误差函数。

特别地，由高斯积分可得出

高斯误差补函数以表示，其定义为

则有

推论：

对于函数若则有

水稻的叶曲线是空间中一条近似光滑的曲线，基于不同年份与施氮水平的水稻桶栽试验，定期利用三维激光扫描仪来获取水稻主茎不同叶位叶曲线空间坐标数据，并利用动态建模技术以高斯函数为基础构造构建水稻主茎不同叶位叶曲线动态模拟模型，模拟研究水稻叶曲线空间变化特征，能较好地预测不同施氮水平水稻主茎不同叶位叶曲线在生长进程中的变化动态，从而为进一步提高水稻叶片及植株的可视化效果提供了技术支持。

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最大熵原理：指在一定的约束条件下，熵达到最大值时，计算得到的随机变量的概率分布最接近真实分布。

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