圆内接四边形（Cyclic quadrilateral）是一个几何概念，指的是四个顶点均位于同一圆上的四边形。这类四边形在几何学中具有独特的性质和重要的应用。矩形、正方形都是特殊的圆内接四边形，而鸢形和梯形在特定条件下也可以成为圆内接四边形。

以右图所示圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，延长AB至E，AC、BD交于P，则：

1.圆内接四边形的对角互补：

2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：

3.圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：

4.同弧所对的圆周角相等：

5.圆内接四边形对应三角形相似：（三个内角对应相等）

6.相交弦定理：

7.托勒密定理：

一个四边形是圆内接四边形的充分必要条件是其相对的两内角互补。以下是圆内接四边形的判定定理：

1. 对角互补定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆。

2. 外角等于内对角定理：如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆。

3. 等距离定理：如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆。

4. 顶角相等定理：若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆。

5. 张角相等定理：如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆。

6. 相交弦定理的逆定理。

7. 托勒密定理的逆定理。

S圆内接四边形，，此公式称之为婆罗摩笈多公式。与海伦公式对比可以看出，这和海伦公式三角形面积具有惊人的相似性，其实海伦公式就是婆罗摩多公式d=0的特殊形式。

例题1：

在圆内接四边形ABCD中，，则BC的长为_______？

答案

使用余弦定理：，解得，

因为：圆内接四边形对角互补，

所以：

使用正弦定理：

即

所以：

例题2：

如图，在梯形ABCD中，，K、M分别在AD、BC上，

求证：（第二届袓冲之杯初中数学竞赛考题）

答案

证明：联结KM与BC延长线上一点E。

因为：

所以：AKMB四点共圆

因为：

所以：

所以：

所以：CDKM四点共圆

所以：

所以：