在
概率论中，联合分布描述了两个或多个
随机变量同时发生的
概率分布。对于定义在相同
样本空间的随机变量X和Y，它们的联合分布函数可以提供这两个随机变量在各种可能值组合下的概率。
二维随机变量
设E是一个
随机试验，它的样本空间是S={e}。设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个
向量（X,Y），叫做二维随机向量或二维随机变量。
定义
设(X,Y)是二维随机变量，对于任意
实数x,y，二元函数：
F(x,y) = P{(X\u003c=x) 交 (Y\u003c=y)} =\u003e P(X\u003c=x, Y\u003c=y)
称为二维
随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
几何意义
联合
概率分布的几何意义在于，如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。
离散随机变量的联合分布
对离散随机变量而言，联合分布
概率质量函数为Pr(X = x \u0026 Y = y)，即
P(X=x and Y=y)=P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y)。
∑x∑yP(X=x and Y=y)=1。
连续随机变量的联合分布
对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为fX,Y(x, y)，其中fY|X(y|x)和fX|Y(x|y)分别代表X = x时Y的条件分布以及Y = y时X的条件分布；fX(x)和fY(y)分别代表X和Y的
边缘分布。
同样地，因为是概率分布函数，所以必须满足
∫x∫y fX,Y(x,y) dy dx=1。
独立变量的联合分布
若对于任意x和y而言，有离散随机变量，
P(X=x and Y=y)=P(X=x) ・P(Y=y)
fX,Y(x,y)=fX(x)・fY(y)
则X和Y是独立的。对于两相互独立的事件P(X)及P(Y)，这一性质同样适用。
多元联合分布
二元联合分布可以推广到任意多元的情况X1, ..., Xn。多元联合分布的概率密度函数可以表示为：
FX1,…,Xn(x1,…,xn)=fXn|X1,...,Xn-1(xn|x1,...,xn-1)fX1,...,Xn-1(x1,...,xn-1)。
这表明多元联合分布可以通过逐个变量的条件分布和
边缘分布来构建。