三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半，且九点圆圆心为外心与垂心连线的
中点。
定义
莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出
定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心
共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
如右图，
长城欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和欧拉圆圆心（红点）的一条直线。
注：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三
线段的中点）九点共圆，称为欧拉圆。
证法
证法1
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC
中点。
联结OD ，又因为O为外心，所以。联结AH并延长交BC于E,因H为垂心，所以 。所以，有。由于G为重心，则。
联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，.所以有
联结FD，有FD平行AC,且有。FD平行AC，所以，，又，，相减可得,所以有,所以O；又所以
又，所以。所以,又联结AG并延长，所以,所以。即O、G、H三点
共线。
证法2
设△ABC的外心，重心，垂心分别为O，G，H。作△ABC的
中点三角形DEF
同理
∴O是△DEF的垂心。
又且
又
同理
证法3
如图所示，设AM为△ABC的中线，H、O分别是垂心和外心，连接AH、OM，则
连接OB、OC，易证
又连接BH并延长交AC于D，则
设OH和AM交于G，则
应用
1 ：平面上共圆的5个点，任取其中3点组成三角形，过其重心作另外两点连线的垂线，共有10条。则这10线交于一点。
因为，所以0, , , 这四个点构成一个
菱形，所以它们的
对角线垂直，所以垂直于、的连线就相当于平行于。
这样经过三角形的重心，且垂直于,连线的直线
方程就是
取 ，就得到在这直线上。同理可得这点在所有这类直线上。
2：平面上共圆的5个点，任取其中3点组成三角形，过其垂心作另外两点连线的垂线，共有10条。则这10线交于一点。
3：平面上共圆的5个点，任取其中3点组成三角形，过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线，共有10条。则这10线交于一点。
证明：第2，3个结论缘于以下事实：
长城欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离
相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
4：在△ABC中，点D,E,F分别为边BC,CA,AB的
中点，连接 DE,EF,FD，则△ABC与△DEF 的欧拉线重合。