双射（Bijection），也称一一映射，是指既是单射又是满射的映射。双射是集合论中的重要概念，对于两个集合之间的元素，双射是将A中所有的元素逐一映射到B中，而B中的每一个元素也恰好与中的每一个元素相对应，两个集合中的元素均全部一一配对，没有遗漏。数学语言可表示为：对于两个非空集合间的映射，若由任意，都有，且对任意，都存在，使得，则称为双射。

双射最早是在1954年由法国数学团体尼古拉·布尔巴基在《数学原本卷一：集合论》提出的概念，在此之前，学术界同概念使用的词是一对一到上（one-to-one onto），布尔巴基对术语进行了标准化并得到了广泛认可，最终形成了如今的数学名词。

双射给集合间的关系带来优良的性质。若两个有限集合间存在双射，则它们集合内元素数量相同；若两个无限集合间存在双射，则集合的基数相同，也称两个集合等势。

双射在抽象代数、泛函分析中均有应用。双射是群同态、环同态、置换、对称群等概念的基础，也是线性算子恒等映射的条件。双射因其一一对应的思想和形式，在其他学科领域也有出现，比如计算机技术中的电子签名方案等。

双射（Bijection）作为一个词出现的历史并不是很久。1954年，法国数学团体尼古拉·布尔巴基（法语：Nicholas Bourbaki）的《数学原本卷一：集合论》（法语：Théorie des ensembles，Éléments de 数学ématique Première Partie）中首次提到了单射、满射、双射的概念（injection、surjection、bijection）。在此之前，学术界同概念使用的词是一对一关系、到上及一对一到上（one-to-one、 onto、one-to-one onto），布尔巴基对术语进行了标准化并得到了广泛认可，最终形成了如今的数学名词。

设为两个非空集合，如果有某一法则，使得每个有唯一确定的和它对应，则称为到内的映射，记为。

若由任意，可推得，则称为单射；若对任意，存在，使得，则称为满射；若既是单射又是满射，则称为双射。

设为两个非空集合，如果有映射，使得每个有唯一确定的和它对应，则称为元素在映射下的像，并记作，即。而元素称为元素在映射下的一个原像。

设为到内的映射，集合称为映射的定义域，记作。中所有元素的像组成的集合称为映射的值域，记作或，即。

对于每个，元素的像是唯一的，但对于，元素的原像不一定是唯一的。映射的值域是B的一个子集。

设为到内的映射，我们得到了值域，因此可以定义一个从到的新映射，即。对于每个，规定，这个映射称为的逆映射，记作，其定义域为，值域。由定义可知，只有单射才存在逆映射。

设有两个映射，其中，从而可以定义一个由到的对应法则，它将每个映成。我们将这个映射称为映射和构成的复合映射，记作，即。由定义可知，映射和构成复合映射的条件是的值域必须包含在的定义域内。另外值得注意的是和的复合是有顺序的，和一般是不同的。

若是非空集合，且存在双射，则称与对等，记为，规定（为空集）。

对于对等关系，有以下性质：

对于任何集合，均有

（1）（自反性）；

（2），则（对称性）；

（3），，则（传递性）

设是两个非空集合，如果对等于的一个子集，又对等于的一个子集，那么对等于。这个结论就是康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理(英文：Cantor-Bernstein-Schroeder theorem)。

是全体正整数，如果对等于，则称为可数集或可列集。

若集合和之间存在双射，则称它们有相同的基数，也称两个集合等势。如果与不对等，但存在的真子集和对等，则称比有较小的基数。

可数集的基数我们记作，读作“阿列夫零”。若集合的势大于可数集的势，则称它为不可数集。[0,1]区间便是一个不可数集。我们称这样的集合为不可数集或不可列集，它是具有连续统的势的集合。我们记不可数集的势为，读作“阿列夫”。

第1步

第1步应先判断是否为映射.映射有三要素才可称为映射：一是有定义域；二是有值域；三是有对应法则，对于每个有唯一确定的和它对应。第三点里面的唯一且确定必不可少。如果不满足这三条，就不是映射，那么双射也无从谈起。

第2步

第2步是如果满足了映射的条件，就看是否为单射。即判断中任意两个不同元素，它们的像是否成立，若成立则为单射。

第3步

第3步是如果满足了单射，再看是否为满射，即判断中任意元素是否都有中某元素的像，若成立则为满射。两者均成立则映射为双射。

例1

设，对每一个，它既不是单射也不是满射。比如4的原像有两个，2和-2，因而不是单射。负数没有原像，因而不是满射。故该映射不是双射。

例2

设，对于每个，有唯一确定的与之对应，因而是满射。然而却不是单射。故该映射不是双射。在几何上，这个映射表示将平面上的一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到轴的区间。

例3

设和是两个同心圆周，由于上每一点与同心圆的圆心的连线与相交且只交于一点，因此上的点与上的点之间构成双射。这个例子说明一个较长的线段并不比另一个较短的线段含有“更多”的点。

例4

区间（0,1）和全体实数集之间存在双射，只需要对每个，令即可。这个例子说明无限长的“线段”也不比有限长的线段有“更多的点”。

双射在抽象代数中常常可见它的身影，对群、环、域的研究是不可或缺的。双射因为其较好的性质，使得一些概念常常根据双射构造。以下列举一些重要的定义及定理。

设和是两个群，如果映射满足

则称是到的一个群同态。若对任意（为幺元，为中的幺元）则称f是平凡同态。若同态是单（满）射，则称是单同态（满同态）。若同态是双射，则称f是到的一个群同构，此时称群和是同构的，记为。特别地，称群到自身的群同态（或者群同构）为的一个自同态（或自同构）。环也有类似的定义。事实上，环同态是加法群到加法群的群同态。

群同态定理：设是群到的满同态，（，称为同态的核），则建立了中包含的子群与中子群间的双射。

非空集合到自身所有双射组成的集合对于映射的乘法成一个群，成它为集合的全变换群。当为有限集合时，到自身的一个双射叫做的一个置换。设有个元素，不妨记为，这时的一个置换称为元置换，并称的全变换群为元对称群，记为。

构造双射对无序分拆 、有序分拆 、完备分拆 、连续分拆 、奇偶分拆以及等差分拆等正整数分拆理论有实际作用，可以构造证明或者推出新的恒等式等。比如有序分拆与Frobenius分拆之间存在双射对应关系，正整数的有序分拆数等于恰含最大分部量为，且满足Frobenius分拆的自共轭无序分拆数。

在线性算子等研究中有具体应用，可构造并证明某些算子代数中的恒等映射问题。比如设是维数大于1的复Hilbert空间上有界线性算子的全体得到的函数，对于中的任意，定义拟积。则是上的双射且满足的充要条件是当时，存在上的酉算子或共轭酉算子使得。

可以构造不同结构图之间的双射，以解决复杂图中出现的应用问题。比如在研究混合元树的集合中避免若干模式的计数问题上，可以构造避免一种模式的混合元树与间的双射。

双射也可以抽离出纯粹数学的概念，转换为一种生活中一一对应的思想，这种一一对应也是双射。计算机网络安全常常使用这种思想制定比如基于身份的可认证的签名方案，来保证电子商务和电子现金支付业务中的安全性，并提高效率。比如可以使用双射对优化具有代理保护的强代理签名方案，使其计算复杂度大幅减少。

可以通过在数据组成的集合之间建立双射函数以寻求数据之间的对应关系，从而可对多维数据和一维数据相互转换，以达到数据转换、加密、存储、查询等处理方法。比如可以将管理机构的企业信息写成五元组的形式，然后构造双射将这五维数据映射到一维数据上，由于一维数据更没有规律性，且表面上与五维数据毫不相干，因此可以很好地进行数据加密。