最小公倍数是数论中的一个概念。若有一个数，可以被另外两个数整除，且大于(或等于) 和，则为和的公倍数。和的公倍数有无限个，而所有正的公倍数中，最小的公倍数就叫做最小公倍数。同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。整数的最小公倍数一般记作：，或者参照英文记法记作，其中是英语中"最小公倍数”一词(least common multiple)的首字母缩写。最小公倍数的概念最早可以追溯到古希腊数学。古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）和欧几里得（Euclid）是最早研究最小公倍数的数学家。他们在研究整数和比例时，发现了最小公倍数的重要性。然而，直到17世纪，数学家约翰·菲利普·博尔赫斯（John Philip Borges）和勒让德·德·朗德（Legendre de Lande）等人才正式将最小公倍数的概念纳入数学理论框架中。

最小公倍数在数学中具有重要的作用，尤其在分数的运算和方程的解法中经常会用到。在分数的加减乘除运算中，我们需要将分母进行通分，使得分母相同，从而方便计算，通分的基础就是找到分母的最小公倍数。最小公倍数可以用于解决周期性问题，如圆的周长和半径之间的关系、天体运动的周期等。通过求最小公倍数，可以确定一个周期内事件的重复次数或时间间隔。

最小公倍数的概念可以追溯到古代数学发展的早期。古代埃及和巴比伦的数学家们在解决分数和比例问题时首次遇到了最小公倍数的概念。在中国古代的《九章算术》中，这本书是中国数学史上的一部重要著作，记载了古代中国人在算术方面的研究成果。其中的“乘除方”一章中，就提到了求解最小公倍数的方法。这本书的成书时间可以追溯到公元前2世纪，因此可以认为最小公倍数的概念至少在这个时期已经被古代中国数学家所熟知。古希腊的数学家欧几里得（Euclid）（公元前330-275），他被称为“几何之父”，著作《几何原本》被成为最成功的教科书，在这本书也提到了最小公倍数，欧几里得在这本书中主要研究了几何学的基础知识，但也涉及了一些数论方面的内容。他给出了一种辗转相除法的方法，用于计算两个数的最小公倍数。在古代印度，数学家布拉马古普塔（Brahmagupta）在其著作《布拉马斯智慧》中也提到了最小公倍数的概念，也提出了一些与代数和数论相关的重要定理和问题。他研究了二次方程的解，提出了解决二次方程的一般公式。他还给出了一个重要的定理，即两个互质的数的乘积与它们的最小公倍数之积相等，这个定理在代数和数论中被广泛应用。他给出了计算两个数的最小公倍数的方法，这种方法类似于欧几里得算法，但稍有不同。布拉马古普塔的方法在印度数学中得到了广泛应用。

随着数学的发展，最小公倍数的概念逐渐被更多的数学家所研究和应用。在17世纪，法国数学家皮耶·德·费玛（Pierre de Fermat），他是现代数学的重要奠基人之一，对代数、数论和几何学等领域做出了许多重要的贡献。费尔马是自学成才的数学家，他的数学才华在当时就备受赞赏。在其著作中研究了最小公倍数的性质。他提出了费尔马定理，即如果两个数互质，那么它们的最小公倍数等于它们的乘积。这一定理为后来的数论研究提供了重要的基础。 到了18世纪，最小公倍数的概念在数学界得到了更为深入的研究。18世纪瑞士杰出的数学家、物理学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler），被公认为现代数学的巨人，提出了一系列关于最小公倍数性质的定理和问题。他在研究最小公倍数时，提出了欧拉函数的概念，用于计算与某个数互质的数的个数。这一概念对于解决一些数论问题具有重要意义。随着数学的发展，最小公倍数的研究不断深入。现代数学中，最小公倍数的概念已经被广泛应用于数论、代数、几何等不同分支的研究中。

整数（integer）包括正整数、零、负整数。其中零和正整数统称为自然数，例如：（非负自然数）。负整数：通常我们用Z表示整数集，用N表示自然数。

正整数：

正整数是大于零且不包含小数部分和分数部分的整数。人类最早的数数和计数活动。在古代文明中，人们使用手指、石头、竹签等物品来进行计数。

零：

古印度的零符号最早被称为“sunya”，意为“空”。由古印度数学家发展并应用。

负整数：

负整数是小于零的整数，通过在整数前面加上负号 "-" 来表示。在古印度数学中，负数的概念首次被引入到计算系统中。减法的需要促进了负整数的发展。

设 是任意两个整数, 其中, 如果存在一个整数 使得等式 :

成立,我们就说 整除 或 被整除, 记作, 此时我们把叫作的因数,把叫作的倍数

最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD），也称为最大公约数、最大公因子，是指两个或多个数共有的最大的因数。对于给定的两个整数和，最大公因数可以用来表示。

定义：设 个整数 .若整数 是它们 之中每一个的因数,那么就叫作的一个公因数 . 整数的公因数中最大的一个叫作最大公因数, 记作, 若, 我们说互质或互素,若中每两个整数互质,我们就说它们两 两互质 。

质数（Prime Number）是指大于1的自然数中，除了1和它本身之外没有其他正因数的数。换句话说，质数只能被1和自身整除，不能被其他数整除。例如，2、3、5、7、11等都是质数。

合数（Composite Number）是指大于1的自然数中，除了1和它本身之外还有其他正因数的数。换句话说，合数可以被大于1和小于它本身的正整数整除。例如，4、6、8、9、10等都是合数。

（1）互素性：如果两个整数和互质（即它们的最大公约数为1），那么它们的最小公倍数为。这是因为互质的两个数没有共同的质因数，它们的乘积就是它们的最小公倍数。

（2）可交换性质：最小公倍数具有可交换性，即。这是因为最小公倍数不依赖于数字的顺序，只与数字的值有关。

（3）乘积性质：对于任意的整数、和，有。这个性质表明，计算多个数的最小公倍数可以将它们拆分成两两计算，然后再将结果的最小公倍数相乘。

（4）最大公因数与最小公倍数的关系：对于任意两个整数和，它们的最大公因数与最小公倍数的乘积等于和的乘积，即：

若是两个整数, 其中 则存在着两个整数及,使得 成立,而且 及 是唯一的 .其中，叫做 被除所得的不完全商, 叫作被除所得到的余数。

证明：

作整数序列 则必在上述序列的某两项之间, 即存在一个整数使得成立 .令, 则 ,而 。

设是任意两个正整数, 则

(i) 的所有公倍数 就是的所有倍数;

(ii)的最小公倍数等于以它们的最大公因数除它们的乘积所得的商,

即其中表示的最小公倍数，表示的最大公因数，特别地, 若, 则。

证明：设 是 的任一公倍数，由定义可设

令 ,由上式即得 ,由于得所以：。

因此

其中 t 满足等式反过来, 当 t 为任一整数时, 为 的一个公倍数, 故上式可以表示 的一切公倍数 .令即得到最小的正数,

设 是任意两个正整数, 由带余数除法, 我们有下面的系列等式：

因为每进行一次带余数除法,余数就至少减一, 而是有限的, 所以我们最多进行次带余数除法, 总可以得到一个余数是零的等式,即,(1)式所指出的计算方法,叫作辗转相除法。

证明：

若是任意两个整数，则就是（1）中最后一个不等于零的余数，即

由以上的讨论,我们可以看到,若两整数中有一为零,而 另一数不为零时,则为不等于零的数的绝对值,若两数都不是零时,则最大公因数可以由(1)实际地算出来。

如果和是正整数，则,其中和分别是和的最小公倍数和最大公因数。

设,则最小公倍数(其中表示的最小公倍数)

最小公倍数满足：（其中表示的最小公倍数）

设是个正整数,令（其中表示的最小公倍数）我们有：

若是个正整数，则

最小公倍数在数学、工程、物理、音乐、金融等领域都有广泛的应用。通过确定多个数值之间的最小公倍数，可以解决各种实际问题，提高计算的效率和准确性。在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿 轮齿数最好设计成素数，以增加两齿轮内两个相同的齿相 遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。

在机械工程中，齿轮是一种常见的传动装置。最小公倍数可用于确定齿轮的传动比，传动比指的是两个齿轮之间的转速比，也是齿轮系统中齿数比。通过最小公倍数，可以寻找一个最小的公共单位，使得两个齿轮之间的转速比为整数。这样可以确保齿轮之间的啮合稳定，减少齿轮传动的振动和噪音。还可以帮助我们确定周期性运动、传动效率和制造参数等重要信息，为齿轮系统的设计、制造和使用提供关键的指导和依据。合理应用最小公倍数，可以实现齿轮传动的稳定性、高效性和精确性，提高机械系统的性能和可靠性。

在天体力学中，行星的轨道位置和周期也可以通过最小公倍数来描述和计算。最小公倍数可以用于确定行星的周期性运动。每个行星都有自己的公转周期，即绕太阳一周所需的时间。通过找到所有行星公转周期的最小公倍数，我们可以确定一个周期单位，使得所有行星在这个单位时间内完成整数个公转周期。这样可以保持行星的周期性运动，使得它们的相对位置和轨道排列保持稳定。还可以帮助我们确定行星的共线排列。有时候，太阳系中的行星会出现共线的现象，即它们在一条直线上排列。最小公倍数还可以用于研究行星的周期性共振。行星周期性共振是指行星在它们的公转周期之间存在整数比例关系的现象。通过找到行星公转周期的最小公倍数，我们可以确定一个最小的公共单位，使得所有行星的周期之间存在整数比例。这样，行星之间的共振关系将会更加稳定和规律。通过合理应用最小公倍数，我们可以更好地理解行星的运动规律和相互关系，推动天体物理学的研究和探索。