2016年，张兴嘉在浪琴表国际马联（FEI）场地障碍世界杯-中国联赛自由路线赛中获得首个冠军。2018年10月，张兴嘉在北京国际马术大师赛150cm场地障碍赛中，获第12名的成绩，并获得赛事最佳新人奖，并于2019年1月获得“2018中国马业十大最受关注骑手”称号；同年3月，张兴嘉入选国家马术队，成为首名浙江籍马术国字号运动员；8月13日，在
荷兰举行的国际马联
东京奥运会场地障碍团体资格赛中，张兴嘉所在的中国队以第二名的成绩获得东京奥运会参赛资格；12月19日，获全国马术场地障碍锦标赛团体冠军。2021年7月14日，张兴嘉入选东京奥运会中国体育代表团马术项目名单，8月，在东京奥运会场地障碍团体资格赛中，张兴嘉所在的中国队排名第12，实现了
浙江省乃至中国马术项目历史性的突破。
2023年9月12日，张兴嘉入选杭州第19届亚运会中国体育代表团马术运动员名单，会参加10月4日的马术场地障碍赛团体赛、个人赛资格赛和10月6日的马术场地障碍赛个人决赛。
张兴嘉出生于1999年，其父亲张永贵是一位爱马人士，受其父亲的影响，张兴嘉很小便展现出了马术天赋，直到2012年才开始专业的马术训练。在
嘉兴市上学期间，张兴嘉每周六都会去
上海市练习骑马，周日再回嘉兴，其父亲也经常陪他参加比赛。2016年起，张兴嘉开始有集中的时间进行训练，因此也在许多比赛中崭露头角。
2017年，张兴嘉首次在国内高级别比赛中亮相，在四年一度的
中华人民共和国全国运动会上，入围个人赛决赛，最终获得第12名的成绩。2018年10月14日，北京国际马术大师赛在北京鸟巢落幕，张兴嘉在150cm场地障碍赛中获得了第12名，在参赛的中国选手中排名第五，并获得赛事最佳新人奖。2018年年末，
浙江省马术障碍队在宁波天驿马术俱乐部正式揭牌成立，张兴嘉成为该队成员之一。不仅如此，张兴嘉还在2018年期间，参加了
香港特别行政区大师赛超高赛、
北京市中巡赛130、
上海浪琴环球马术冠军赛、
天津市世界杯150等大赛，并取得了不错的成绩。
2019年1月，获“2018中国马业十大最受关注骑手”称号；3月，张兴嘉入选了国家马术队，成为首名浙江籍马术国字号运动员；同年8月13日，在
荷兰举行的国际马联
东京奥运会场地障碍团体资格赛中，张兴嘉所在的中国队以第二名的成绩获得东京奥运会参赛资格；12月19日，获全国马术场地障碍锦标赛团体冠军。同年，在
比利时宝马巡回赛150cm级别中，获得第7名。
2021年7月14日，张兴嘉入选东京奥运会中国体育代表团马术项目名单，8月，作为
中国国家马术队一员，在东京奥运会场地障碍团体资格赛中，以35个罚分，最终排名第12位，提前结束了东京奥运会的征程，实现了
浙江省乃至中国马术项目历史性的突破。同年9月23日，张兴嘉与队友
陈贺其勒图、
段义华、
徐昊组成的
浙江职业足球俱乐部以两轮总罚分23分，获得第十四届
中华人民共和国全国运动会马术场地障碍团体赛季军，实现了
奉化区历史上全运会马术比赛奖牌零的突破。
2023年9月12日，张兴嘉入选
杭州第19届亚运会中国体育代表团马术运动员名单，会参加10月4日的马术场地障碍赛团体赛、个人赛资格赛和10月6日的马术场地障碍赛个人决赛。
2024年3月，2024年中国马术场地障碍冠军杯赛（东莞金伯乐站）拉开帷幕，在1.45米级别比赛中，张兴嘉分别搭档恰比和照夜以零罚分、78.93秒和零罚分、83.81秒获得季军和第四名。
2023年6月15日，体育总局科教司发布2023年优秀运动员本科保送推荐名单，张兴嘉被保送推荐至
北京体育大学。