积分第一中值定理(积分中值定理的推广之一)

积分第一中值定理

积分中值定理的推广之一

积分第一中值定理是积分中值定理的推广之一，此外还有积分第二中值定理。积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法。是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

定理定义

如果函数在闭区间上连续，在上不变号，并且在闭区间上是可积的，则在上至少存在一个点，使下式成立：

定理证明

由于在上不变号，不妨设。并且由在上的连续性可知，在上存在最大值和最小值，使得，将不等式两边同时乘以，得到：

对上式在上取积分得:

若，上式等号成立，，定理显然成立。

若，不等式两边同除以，有

由介值定理，存在，使得，即。

定理得证。

应用实例

求极限

解：取为，，，则，，并有

由于有界，因此

即原式的极限为0。

参考资料

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定理定义

定理证明

应用实例

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