以
复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复 变 函 数 论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。
书籍信息
• 书名复变函数
• 书号978-7-118-07140-5
• 作者李汉龙，缪淑贤
• 出版时间2011年1月
• 译者
• 版次1版1次
• 开本16
• 装帧
• 出版基金
• 页数269
• 字数379
• 中图分类O174.5
• 丛书名普通高等院校“十二五”规划教材
• 定价28.00
内容简介
本书是作者在大学多年的教学实践中编写的。其内容包括
复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、
级数、
留数定理及其应用、共形映射、数学软件在复变函数中的应用和复变函数发展史八章。前七章配备了较多的例题和
习题。书末附有自测题和习题答案.
本书既注意引导读者用复数的方法处理问题，又随时指出复数和
实数中许多概念的异同点；在结构上既注意了它的完整性和系统性，又注意了它的应用性；同时加入了数学软件在复变函数中的应用和复变函数发展的
历史材料。本书可作为理工科院校本科各专业复变函数课程的教材或参考书，也可以作为科研人员的
目录
复变函数
1.1 复数及其代数运算……………………1
1.1.1 复数的概念……………………1
1.1.2 复数的代数运算……………………1
1.2 复数的几何表示……………………2
1.2.1 复平面……………………2
1.2.2 复球面……………………8
1.3 复数的乘幂与方根……………………9
1.3.1 乘积与商……………………9
1.3.2 乘幂与方根……………………11
1.4 区域……………………13
1.4.1 区域……………………13
1.4.2 单
连通区域与多连通区域……………………15
1.5 复变函数……………………16
1.5.1 复变函数的定义……………………16
1.5.2 复变函数的几何意义……………………16
1.6 复变函数的极限与连续性……………………19
1.6.1 复变函数的极限……………………19
1.6.2 复变函数的连续性……………………21
小结……………………22
第2章 解析函数……………………28
2.1.1 导数的定义……………………28
2.1.2 可导与连续的关系……………………29
2.1.3 微分的概念……………………29
2.2 解析函数……………………30
2.2.1 解析函数的概念及其简单性质……………………30
2.2.2 函数解析的充要条件……………………32
2.3 解析函数与调和函数的关系……………………37
2.4 初等函数……………………40
2.4.1 初等单值解析函数……………………41
2.4.2 初等多值函数……………………44
小结……………………49
第3章 复变函数的积分 ……………………55
3.1 复变函数积分的概念……………………55
3.1.1 有向曲线……………………55
3.1.2 复变函数积分的定义……………………56
3.1.3 积分存在条件……………………56
3.1.4 积分的计算……………………57
3.1.5 复变函数积分的基本性质……………………59
3.2 柯西—古萨(Cauchy-
Goursat)基本
定理……………………60
3.2.1
奥古斯丁-路易·柯西—古萨基本定理……………………60
3.2.2 原函数与不定积分……………………62
3.3 复合闭路定理……………………65
3.4 柯西积分公式……………………67
小结……………………75
4.1.1 数列的极限……………………81
4.1.2 复数项级数……………………82
4.1.3 绝对收敛与条件收敛……………………84
4.2 幂级数……………………85
4.2.1 幂级数概念……………………85
4.2.2 幂级数的敛散性……………………86
4.2.3 幂级数的运算和性质……………………90
4.3 泰勒级数……………………91
4.3.1 泰勒定理……………………91
4.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法……………………93
4.4 洛朗级数……………………96
4.4.1 双边幂级数……………………97
4.4.2 洛朗定理……………………98
4.4.3 将函数展开成洛朗
级数的方法……………………99
小结……………………102
5.1 孤立奇点……………………108
5.1.1 孤立奇点的概念……………………108
5.1.2 各类孤立奇点的判别方法……………………108
5.1.3 函数的零点与极点的关系……………………111
5.1.4 无穷远点∞是函数的孤立奇点的情形……………………113
5.2 留数定理……………………114
5.2.1
留数的定义及留数定理……………………114
5.2.2 留数的计算方法……………………115
5.2.3 函数在无穷远点的留数……………………119
5.3.1 ∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ型积分……………………122
5.3.2 ∫∞-∞R(x)dx型积分……………………124
5.3.3 ∫∞-∞R(x)eaixdx(a>0)型积分……………………126
5.4.1 对数留数……………………129
5.4.2 辐角原理……………………130
5.4.3 儒歇(Rouche)
定理……………………131
5.4.4 单叶函数的一个性质……………………132
小结……………………133
第6章 共形映射……………………139
6.1 共形映射的概念……………………139
6.1.1 解析函数
导数的几何意义……………………139
6.1.2 共形映射的定义及性质……………………139
6.2 几种简单的映射……………………142
6.2.1 平移变换……………………142
6.2.2 旋转与伸缩变换……………………143
6.3 分式线性映射……………………145
6.3.1 分式线性映射的性质……………………145
6.3.2 几个典型的分式线性映射……………………148
6.4 初等函数的映射……………………155
6.4.1 幂函数与根式函数所构成的映射……………………155
6.4.2
指数函数与对数函数所构成的映射……………………158
6.4.3 儒可夫斯基函数所构成的映射……………………161
6.5 共形映射的两个一般性
定理……………………165
6.6 施瓦茨—
克里斯托费尔映射……………………166
6.7 共形映射在静电学、热力学及
流体力学中的应用……………………172
小结……………………179
第7章 数学软件在复变函数中的应用……………………183
7.1
MATLAB应用基础……………………183
7.1.1 Matlab编程基础……………………183
7.2 Matlab在复变函数中的应用……………………185
7.2.1
复数和复矩阵的生成……………………186
7.2.2 复数的运算……………………187
7.2.3 复变函数的极限……………………189
7.2.4 复变函数的求导……………………190
7.2.5 复变函数的定积分……………………191
7.2.8
拉普拉斯变换及其反变换……………………199
7.2.9
傅里叶变换及其反变换……………………203
7.2.10 复变函数的图像……………………204
小结……………………207
第8章 复变函数发展史……………………210
8.1 了解数学史的重要意义……………………210
8.2 复变函数发展史简述……………………210
8.2.1 复变函数论的发展简况……………………211
8.2.2 复变函数论的内容……………………212
8.3 复变函数主要内容发展历程……………………213
8.3.2 复变函数……………………215
8.3.3 解析函数与复积分……………………216
8.3.6 共形映射……………………222
8.4 复变函数发展历程中相关数学家介绍……………………223
8.4.1
长城欧拉(Euler,L.1707-1783) ……………………223
8.4.2 高斯(Gauss,C.F.1777—1855)……………………224
8.4.3
奥古斯丁-路易·柯西(Cauchy.A.L.1789—1857)……………………225
8.4.4
卡尔·魏尔施特拉斯(Weierstrass.K.T.W.1815—1897) ……………………228
8.4.5
伯恩哈德·黎曼(Riemann,F.F.B.,1826—1866) ……………………229
小结……………………234
附录……………………235
附录Ⅰ 区域映射图……………………235
附录Ⅱ 复变函数自测试题……………………242
参考文献……………………261