极值的定义为若函数在点的某邻域内，对一切，有（），则称函数在点处取得极大（小）值，称点为极大（小）值点，极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。

极值存在的必要条件为设函数在点的两个偏导数存在，若是的极值点，则，。

极值是函数的局部性概念，与最值不同。此外，极大值可能小于极小值，极小值可能大于极大值。

极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函数称为极值函数，若它为一元函数，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。

“极大值”和“极小值”的统称。如果函数在某点的 值大于或等于在该点附近任何其他 点的函数值，则称函数在该点的值 为函数的“极大值”。如果函数在某 点的值小于或等于在该点附近任何 其他点的函数值，则称函数在该点 的值为函数的“极小值”。

函数在其定 义域的某些局部区域所达到的相对 最大值或相对最小值。当函数在其 定义域的某一点的值大于该点周围 任何点的值时，称函数在该点有极 大值; 当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极小值。这里的极 大和极小只具有局部意义。因为函 数的一个极值只是它在某一点附近 的小范围内的极大值或极小值。函 数在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函数的极值 通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且，那么：

1）若，则f在x0取得极大值；

2）若，则f在x0取得极小值。

函数的一种稳定值，即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点上取得。

在给定的时期内，或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值。如果这个时期是整个有观测资料的时期，这个极值就是绝对极值。

极值的定义如下：

若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。

同理，若对D的所有点，都有，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

极值的概念来自应用数学中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果极值点不是边界点，就一定是内点。因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。

寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是最优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

费马定理可以发现局部极值的导数函数，它表明它们必须发生在关键点。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值，给出足够的可区分性。

对于分段定义的任何功能，通过分别找出每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。

对于多元函数，同样存在极值点的概念。此外，也有鞍点的概念。

计算步骤

求极大极小值步骤

（1）求导数f'(x)；

（2）求方程的根；

（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

特别注意

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

求极值点步骤

（1）求出的x值；

（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

（3）上述所有点的集合即为极值点集合。

例题

求函数的极值

应该是得到四个点，再代入值比较大小。

恒成立

得到或者

定理1（必要条件）：设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零

定理2（充分条件）：设函数在点的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令

则在处是否取得极值的条件如下：

（1）时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；

（2）时没有极值；

（3）时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：

第一步 解方程组，求得一切实数解，即可求得一切驻点；

第二步 对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值A、B和C；

第三步 定出的符号，按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值。

说明

上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点不可导时，这些点当然不是函数的驻点，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论。