罗尔中值定理(微分学中一条重要的定理)

罗尔中值定理

微分学中一条重要的定理

罗尔定理（罗尔中值定理，Rolle‘s theorem）为：如果函数在闭区间上连续，在开区间中处处可导，且，则在中至少存在一点使得。利用罗尔定理可以证明方程根的存在性。其几何意义为闭区间上方的一条可微的曲线，如果其两端点在同一水平线上，则它一定有一条切线是水平的。

1691年，法国数学家罗尔（Rolle）在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理，并用纯代数方法证明。后人根据微积分理论重新证明罗尔定理，并把它推广为一般函数。1834年，德国数学家德罗比什（Drobisch）给出“罗尔定理”这一名称，由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用。

罗尔定理可由费马定理及闭区间上连续函数的最大（小）值定理推导证明。罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等导数中值定理是微分学的核心内容。

定义

罗尔定理为：如果函数在闭区间上连续，在开区间中处处可导，且，则在中至少存在一点使得。

几何意义

罗尔定理的几何意义为：闭区间上方的一条可微的曲线，如果其两端点在同一水平线上，则它一定有一条切线是水平的。

简史

拉格朗日微分中值定理的特殊情况

公元前，古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”，这是拉格朗日中值定理的特殊情况，希腊著名数学家阿基米德（Archimedes）利用这一结论求出抛物弓形的面积。

几何形式的微分中值定理

1635年，意大利卡瓦列里（Cavalieri）在《不可分量几何学》卷一中给出处理平面和立体图形切线的引理，其中引理3基于几何的观点叙述了同样事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦，这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。

费马定理与罗尔定理

积分建立之初，人们开始对微分中值定理的研究。1637年,法国数学家皮耶·德·费玛（Fermat）在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理，可由费马定理推出罗尔定理。1691年，法国数学家罗尔（Rolle）在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔中值定理，并用纯代数方法证明，该定理是现在教科书上罗尔中值定理的特例，在当时与微积分没有联系。此后，后人根据微积分理论重新证明罗尔中值定理，并把它推广为一般函数。1834年，德国数学家德罗比什（Drobisch）给出“罗尔定理”这一名称，由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用。

拉格朗日中值定理与柯西中值定理

1797年法国数学家约瑟夫·拉格朗日在《复变函数》一书中给出拉格朗日中值定理及其最初的证明。法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（Cauchy）对微分中值定理进行系统研究，赋予微分中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。1823年，他在《无穷小计算教程概论》中，严格证明了拉格朗日中值定理，并于1829年在《微分计算教程》中将其推广为广义微分中值定理及柯西中值定理。

推导证明

罗尔定理的证明如下：

若为常数，对任意一点成立；

若不为常数，至少有一点：或，

又因闭区间上连续函数有最大值与最小值，

在时，在上的最大值不在端点与处达到，

而在某点处达到，即，

由此推出点是极大值点，由费马定理可得

当时，在上的最小值不在端点与处达到，

而在某点处达到，即，

由此推出点是极小值点，同样由费马定理可得，

证毕。