欧拉常数(Euler Constant)，全名欧拉-马斯凯罗尼常数(Euler-Mascheroni Constant)，其近似值为0.57721566490…，是瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）提出的数学常数。其定义为调和级数与自然对数差的极限。目前使用字母γ来表示。

1734年，莱昂哈德·欧拉在他的文章中首次提出欧拉常数，他本人曾用字母C来表示这个常数，并精确计算到了小数点后5位。1790年，意大利数学家马斯凯罗尼（Mascheroni）引入了字母γ作为欧拉常数的新符号，并将其计算到了小数点后32位。截止到2021年4月29日，欧拉常数已经计算到了16695279010位。目前无法论证欧拉常数是否为有理数还是无理数。

欧拉常数在数学上是一个重要的常数，其推导方法有利用数项级数收敛和积分中值定理等。可利用欧拉-科林·麦克劳林公式积分法计算出欧拉常数的近似值。欧拉常数应用广泛，可以用于证明调和级数发散、数项级数求和以及定积分计算、数列求极限等。

欧拉常数，首次由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1734年的发表的文章中提出，其近似值为0.57721566490...。欧拉本人曾用字母C来表示这个常数，并精确计算到了小数点后5位。到了1761年，欧拉进一步将这个值计算到了小数点后16位。1790年，意大利数学家马斯凯罗尼（Mascheroni）引入了字母γ作为欧拉常数的新符号，并将其计算到了小数点后32位。然而，后续的计算发现马斯凯罗尼在第20位时出现了错误。至于欧拉常数是否为有理数，这一问题至今仍未有定论。截止到2021年4月29日，欧拉常数已经计算到了16695279010位。

欧拉常数（Euler Constant)0.57721566490153286

其定义为调和级数与自然对数差的极限，数学上表示为：，其中

欧拉常数还有以下几种表达形式：

设为调和级数的前n项和，即

记，可以证明数列的极限存在。

设，即

或

级数形式及常义积分形式有（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

反常积分形式有欧拉常数

或

证明只需将（3）、（4）中作代换，即，该表达式即可成立。

1734年莱昂哈德·欧拉是这样得到欧拉常数的：

利用的Taylor 展开得

于是，

以代入得

故，

设为调和级数的前n项和，即

记，可以证明数列的极限存在。

由定积分的知识，可知

当时，有，故

因此，

又

所以序列单调有界，存在

因为

所以

利用积分中值定理得是常数

所以

又因为，而级数收敛，所以级数也收敛

于是极限存在

当时，有以下不等式成立：

（1）

取，得（2）

设

则（3）

而（4）

将（2）代入（3）可知（5）

将（2）代入（4）得（6）

式（6）说明数列单调下降，式（5）说明数列有下界。根据单调有界数列极限存在准则可知，极限存在。

即

欧拉常数可以通过几何图形来直观理解。如下图所示：

位于曲线上方从左到右前n个曲边三角形面积之和为，由于这些三角形的底边长度为1，竖的直角边长度总和不超过1，可以将它们全部放置在一个单位正方形内，这意味着这些三角形的总面积不会超过1。同时，由于每个三角形的面积都是正的，可以通过对这些三角形面积的求和来逼近欧拉常数。故序列是单调的，单调有界，故存在。这种几何方法为理解欧拉常数提供了一个直观的视角。

从函数的定义得知，

因此有

定理一

证明：（1）

由的展开式，

通过运算得到

因此式（1）中右端的第一项为

再令

则（2）

式（1）中右端的第二项为（3）

把式（2）和式（3）代入式（1），则有

定理得证

定理二

证明：利用公式

有

令，则

当时，，因此

其中

最终运算证得

[0；1，1，2，1，2，1，4，3，13，5， 1， 1， 8， 1， 2，4，1，1，40， ...]（OEIS A002852）。

欧拉常数由此极限定义：

其中称为调和数。下面的渐近展开式成立：

或写成。此处的Bn表示伯努利数。

以上列表参考资料：

为了得到准确的欧拉常数的近似值，可利用长城欧拉科林·麦克劳林公式积分法进行计算，

现有

通过一系列的积分运算，则有

即得

所以

再代入

即得

记

可以证明

其中的都是常数，其全体被称为欧拉常数族。

中国数学家徐利治曾对有研究，他指出设，当充分大之后，的数值恒为正，而且有一正常数，使得

由这一结果可得

1983年中国数学家孙燮华证得

学者赵钧伟等人在论文《欧拉常数族新探》中指出，只要循环套用定理一；定理二若三阶可导，当时，单调趋于零。则此极限存在：；定理三设三阶可导，，当时单调趋于零，则此极限存在：

以及引理若记，则有（其中p为大于1的任意实数），即可把欧拉常数族中一切求得。

定理：若是区间上单调减少且非负的连续函数，且反常积分为无穷大，则无穷大与同阶，即，其中为常数，称正常数集合为广义欧拉常数族，记作

该定理推广了欧拉常数的定义，以发散正项无穷级数减去相应的发散正项积分，从而得到了广义欧拉常数族的统一定义。由此定理可知

若，则

特别地，当时，

广义欧拉常数族的元素的性质，有如下定理：若函数为单调下降到零的非负连续函数，则：（1）数列单调递减趋于；数列单调递增趋于，并且。（2）令，则

定理：当时，（的同阶无穷小），其中是欧拉常数

证明：设，则

其中

又有

因为，已知级数收敛，所以上述两个级数都收敛，且第二个级数的值不超过

这不仅证明了当时，收敛于一个常数，同时又证明了

于是

即

（1）

从上式可看出，同阶，并且差当时，趋向于欧拉常数，

因此，

当时，，故调和级数发散。

此外，等式（1）不但可以证明调和级数发散，还进一步说明当时，，且，而他们的差则趋向有限的极限。

例如求

因为，且

所以由Leibniz 判别法知级数收敛。记其和为S，部分和为,

则

由于，

根据极限的性质（为一个极限为0的数列），将其代入上式，得

故

例如计算积分，其中表示的小数部分

解：被积函数有界，且只有有限个间断点，而且这些间断点只有唯一极限点0，从而所给积分有意义，其计算如下：

利用欧拉常数，可以简化计算。

例如求极限

解：

欧拉常数还可以应用于求无穷乘积、函数项级数收敛域等领域，简化其计算和证明。