2014年，唐才育正式加入新疆广汇青年队，并随队夺得2014年全国青年联赛冠军。2016年8月，他进入新疆男篮一线队，开始参加CBA联赛。2016-17赛季，唐才育随新疆队获得CBA总冠军。2019-20赛季，他进入新疆队的轮换阵容，在45场比赛中场均可以得到9.1分1.8篮板1.2助攻。2020-21赛季，唐才育成为新疆队的主力
得分后卫，共出场53次，其中49次首发，场均得到12.9分2.2篮板2.2助攻1.3抢断。2022年3月，他入选国家队五人男篮人才库。2022-23赛季，唐才育的状态出现明显下滑，场均只得到5.8分2.4篮板1助攻。2023-24赛季，唐才育基本跌出首发阵容。
2012年，唐才育在时任新疆广汇男篮董事长
郭舰的邀请下加入新组建的新疆广汇青年队。2013年，由于年龄太小，他曾短暂回家。2014年，唐才育正式成为新疆广汇青年队的一员，并与
阿不都沙拉木·阿不都热西提、史仪、丁浩然等人一起夺得球队历史上首个全国青年联赛冠军。唐才育在青年队就展现出不错的得分能力，2016年全国青年联赛场均可以得到15.6分。
2016年8月，唐才育进入新疆男篮一线队，开始参加
中国男子篮球职业联赛。2016年11月15日，在新疆99-89战胜
广州市的比赛中，唐才育替补登场14秒，完成个人CBA生涯首秀。12月30日，新疆135-109击败
浙江省，唐才育替补出战3.6分钟，得到1分，这也是其CBA生涯首次得分。2016-17赛季，唐才育代表新疆队出场5次，场均出场2分钟，得到0.4分，并随队获得CBA总冠军。
2017年12月7日，在新疆主场133-113战胜青岛的比赛中，唐才育替补登场14.8分钟，得到9分1篮板，并刷新个人职业生涯单场得分记录。2017-18赛季常规赛，唐才育代表新疆队出场12次，场均出场4.2分钟，得到1.1分0.2篮板；季后赛出场1次，得到2分1篮板，最终新疆队在1/4决赛中被广东队以3-1淘汰。
2019年3月2日，在新疆主场143-101胜北控的比赛中，唐才育得到生涯新高的10分。2018-19赛季常规赛，唐才育代表新疆队出场10次，场均出场4.5分钟，得到2.1分和0.2篮板；季后赛出场3次，场均出战2.7分钟，得到0.7篮板，最终新疆队在
半决赛被
辽宁沈阳三生飞豹篮球俱乐部以4-1淘汰。
2020年1月17日，在新疆客场94-102不敌吉林的比赛中，唐才育首发出战41分钟，得到25分7篮板3助攻1抢断，并刷新个人职业生涯得分和篮板记录。2019-20赛季常规赛，唐才育进入新疆队的轮换阵容，共出场45次，其中22次首发，场均出场22.6分钟，得到9.1分1.8篮板1.2助攻；季后赛出场2次且全部首发，场均出战24分钟，得到5.5分5篮板1.5助攻1抢断，最终新疆队在
半决赛中被
辽宁沈阳三生飞豹篮球俱乐部以2-0淘汰。
2020年11月2日，新疆主场117-106击败
天津市，唐才育首发出战44.6分钟，得到生涯新高的32分，外加4篮板2助攻1抢断。2020-21赛季常规赛，唐才育成为新疆队的主力
得分后卫共为新疆队出场53次，其中49次首发，场均出战34分钟，得到12.9分2.2篮板2.2助攻1.3抢断；季后赛出场1次，得到10分3篮板1助攻1抢断，最终新疆队在1/4决赛被山东队淘汰。
2021年8月24日，唐才育与新疆队完成续约，签下2年B类合同。2022年3月20日，在新疆客场99-118不敌
广东省的比赛中，唐才育首发出战32.2分钟，得到赛季新高的23分，外加1篮板3助攻1抢断。2021-22赛季常规赛，唐才育共为新疆队出场35次，其中22次首发，场均出战33.1分钟，得到11.9分2.8篮板3.1助攻1.1抢断，最终新疆队位列第14名，无缘季后赛。
2022-23赛季，唐才育状态出现明显下滑，共为新疆队出场25场比赛，其中19次首发，场均出战20.7分钟，得到5.8分2.4篮板1助攻，最终球只获得常规赛第17名，连续两年无缘季后赛。2023-24赛季，唐才育基本跌出首发阵容，截至2024年3月19日共出场37次，其中只有2次首发，场均出场时间也下降到14.6分钟，得到3.6分1.5篮板。
在比赛中，唐才育放得很开，从投射到突袭，在进攻端，他用尽各种方法，来展现自己的才华。（
腾讯体育评）
唐才育是最锋利的矛，在比赛保持着持续的稳定，每当对手开启追分的势头时，他就会用三分球和快攻反击来回应。（
天山网评）
2024年8月14日，2024“桥南·五道街杯”
中美职业篮球精英对抗赛在
天水市麦积区道北体育馆举行，由新疆广汇俱乐部篮球队对阵美国探险者队。在比赛第一节还剩23秒时，双方球员在争抢篮板球中，美国探险者队45号球员肘击新疆广汇俱乐部0号球员
西尔扎提·赛买提面部，随即发生口角进而引发双方多名球员出现推搡、挥拳、踢腿动作。经临场裁判、现场工作人员和安保人员隔离和劝阻，比赛暂停约3分钟后恢复，并正常完赛。8月23日，
中国篮球协会纪律与道德委员会发布关于对
新疆广汇飞虎俱乐部和相关球员的处罚通知。唐才育被停赛3场。