完全数（perfect number）也称完美数，是一个数的所有因子（不包括自身）之和等于这个数本身。

公元前3世纪，古希腊人在对正整数进行因数分解时，发现有的数的所有因数（包括1和其自身）之和等于自身的2倍，即为完全数。在近代，1644年，法国数学家梅森（M.Mersenne）提出了著名的梅森猜想，欧拉、卢卡斯等人为猜想真伪的辨明做出了贡献。进入20世纪，电子计算机的出现，为完全数的寻找提供了便利。对于奇完全数是否存在，布伦特（R．Brent）等人给出了相关结论与证明。

完全数具有一些神奇的性质，如每一个偶完全数都可以写成连续自然数之和。与完全数相关的定理为欧几里得定理以及欧拉定理，它们为完全数的计算提供了理论基础。将完全数概念进行推广，可得到多重完全数，以及在某一特殊函数下定义的完全数。在东西方文化中，完全数一直是祥瑞的象征，象征着吉祥如意，美满幸福。

完全数（完美数）指的是一个数的所有因子（不包括自身）之和等于这个数本身。设表示正整数的所有因数之和，则是一个完全数等价于。

完全数概念的提出可追溯至古希腊时期。公元前3世纪，古希腊人在对正整数进行因数分解时，发现有的数的所有因数（包括1和其自身）之和等于自身的2倍，他们称之为完全数。公元前300年左右，欧几里得在其《几何原本》卷九最后给出了寻找完全数的命题，即为欧几里得定理。公元1世纪左右，古希腊数学家尼科马霍斯（Nichomachus）在《算术入门》中复述了以上4个完全数和欧几里得定理。

到了近代，关于完全数的研究，许多著名的猜想和定理被提出。1460年，一位无名氏的手稿，给出了第5个完全数33550336。16世纪意大利数学家塔塔利亚（N.Tartaglia）指出，当p=2或3~39间的奇数时，2p-1（2p-1）是“完全数”，共有20个。17世纪“神数术"大师庞格斯（Pangos）在《数的玄学》中，在塔塔利亚的基础上，列出了28个“完全数”。1603年，意大利数学家卡塔尔迪（P.A.Cataldi）证明了无名氏找出的那第5个完全数符合欧氏定理。同时，他证明了第6个和第7个完全数分别是216（217-1）和218（219-1）；但他也给出了一些错误的结论。直到1640年，法国大数学家皮耶·德·费玛使用著名的费马小定理证明了卡塔尔迪关于p=23的结果是错误的。1644年，法国数学家梅森（M.Mersenne）指出：庞格斯给出的28个“完全数”中只有8个是正确的。即当p取2，3，5，7，13，17，19，31时，2p-1（2p-1）是完全数。同时，他另给出第9，10，11个完全数，即p取67，127，257时。梅森在没有证明的情况下断言：当p≤257时，就只有这11个完全数。这就是历史上著名的“梅森猜测”，而形如2p-1的数被称为“梅森数”，其中的素数称为“梅森素数”。

18、19世纪，大量数学家参与到梅森猜想的研究中。1730年，瑞士数学家证明了一个重要定理：“每一个偶完全数都是形如2p-1（2p-1）的自然数，其中p与2p-1都为素数”。1772年，莱昂哈德·欧拉在双目失明的情况下，仍在顽强地研究完全数。他写信给瑞士数学家雅各布·伯努利（Bernoulli）说，他用试除法已靠心算证明，当p=31时，230（231-1）是第8个完全数。同时，他还纠正了自己指出p取41、47是完全数的错误。1876年，法国数学家卢卡斯（F.Lucas）提出了一个用来判别素性的重要定理—卢卡斯定理。借助卢卡斯定理，数学家们发现，“梅森猜测”中p取67和257可得到的完全数的说法是错误的，且在p≤257范围内，梅森漏掉了p取61，89，107时的三个完全数。这样一来，“梅森猜测"应修正为：p≤257时，当p取2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127时，2p-1（2p-1）是完全数，共12个。

电子计算机的出现，大大加快了完全数的寻觅步伐。人们自开始利用计算机寻觅完全数至今，又发现了34个完全数，其间历时64年。目前发现的最大偶完全数是第45个被发现的偶完全数，也可能就是第46个偶完全数（后发现的那个反而要小一点），即p=43112609时的243112608（243112609-1）。在1922年，数学家克莱契克（M.Kraitchik）运用抽屉原理验证了2257-1并不是素数，而是合数，只是当时他并没有给出这一合数的素因子，故2256（2257-1）并非完全数。

19世纪中后期，偶完全数的结论已较为成熟，而对于即完全数的探讨在数学界仍占据较重要的地位。数学家奥尔(O.Ore）用计算机检查过108以下的自然数，没有发现一个奇完全数。1973年，有人证明奇完全数必须大于1050；1975年，哈吉斯（P.Hagis）和迈克丹尼尔（W.L.McDaniel）证明奇完全数的最大素因子一定大于100110；后来，布兰斯坦（M.Brandstein）指出：若奇完全数存在，它的最大素因子大于5x105。1976年，塔克曼（B.Tuckerman）研究后宣布，若奇完全数存在，它必须大于1036。1979年，哈吉斯等人证明，奇完全数如果存在，则其异素因子的个数大于等于8。尼尔森（P.P.Nilsen）进一步改进了奇完全数相异素因子的个数，他证明若n为奇完全数，则其相异素因子个数大于等于9，且他进一步得到当3不整除n时，n的相异素因子个数大于等于12。1981年，哈吉斯再次指出，若奇完全数存在，它的第二大素因子大于103；1989年，布伦特（R.Brent）等指出：若奇完全数存在，则必大于10160；1991年，布伦特等人又将此下界推进至10300；而利普（W.Lipp）将之改进为大于10500；1999年，还有人指出奇完全数的更大下界，但塞达克（F.Saidak）发现证明中的错误，并将错误告诉了证明者。

（1）完全数的全部因数的倒数之和都是，因此每个完全数都是调和数。如

（2）完全数的二进制表达式：

。

（1）偶完全数都是以或结尾。如果以结尾，那么就肯定是以结尾。

（2）除以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成一位数，那么这个一位数一定是。亦即：除以外的完全数，被除都余。如：

（3）所有的偶完全数都可以表达为的一些连续正整数次幂之和，从到。如：

；

；

；

。

（4）每一个偶完全数都可以写成连续自然数之和：

；

；

。

（5）除以外的偶完全数，还可以表示成连续奇数的立方和：

；

；

；

。

（1）级数(此处经过所有的且下界为的奇完全数）。

（2）设是具有个相异素因子的奇亏完全数，则或者。且若，有；若，有。

定理：若为素数（即梅森素数），则是完全数。

证：设，由于是素数，所以。注意到，

有：。

故是完全数。

定理：若是一个偶完全数，则，这里为某素数，且也是素数。

证：设的标准分解式中含的最高方幂的次数为，因为偶数，故。又因显然不是偶完全数，所以

。

由，可得

易知，和都是的正因数，但是的所有正因数之和，故只有两个正因数，即为素数，且，因此为素数。此时必须是素数，记为。证毕。

公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得发现了一个计算完全数的公式：如果是一个质数，那么，由公式算出的数一定是一个完全数。

例如，当时，是一个质数，于是是一个完全数；当时，是一个完全数；当时，也是一个完全数。

可定义一个布尔型函数perfect（x），若x是完全数，其值为ture，否则为false。计算完全数的函数定义如下：

function perfect（x：integer）：boolean；

var

k，sum：integer；

begin //累加x所有小于本身的因数

sum：=1；

for k：=2 to x div 2 do

if x mod k=0 then sum：=sum+k； //判断x是否是完全数

perfect：=x=sum； //将结果赋值給函数名

end；

自定义函数只是主程序的说明部分，若主程序中没有调用函数，则系统不会执行函数子程序。当主程序调用一次函数时，则将实际参数的值传给函数的形式参数，控制转向函数子程序去执行，子程序执行完毕自动返回调用处。

具有形式的数为梅森数（Marin Mersenne），其中为素数。如果梅森数是素数，则称为梅森素数。梅森数可能是素数，也可能是合数，例如：都是素数，而是合数。

上述欧几里得定理利用梅森素数计算偶完全数的方法。此外，所有的偶完全数都是形如的数，这里是质数。由此推出，有几个梅森数质数，就有几个偶完全数。

亲和数指的是两个数中，一个数的全部因数（本身除外）之和与另一个数相等。例如，数字220和284就是亲和数。

完全数和亲和数被许多数字性的臆测所包围。例如，Saint Augustine认为雅威在六天内创造了天和地，因为6是一个完全数，从而会预示该工作的完美性。亲和数常常和两个人的亲密友谊相联系。1007年，在马德里这些数曾被建议可以当作一贴爱情之药来使用：将较小的数送给你所爱的对象而你自己吃较大的数（例如220粒与284粒米）。此外，在许多未解决的问题方面，完全数和亲和数是类似的。

在自然数中，还存在大量满足“一个数的k倍等于它的全部因数（包括1和其自身）的和，其中k为不小于3的整数”这样的整数，称之为k重完全数。现已发现的多重完全数包括，3重完全数（6个）、4重完全数（20个）、5重完全数（13个）、6重完全数（1个）。

设是全体正整数的集合，对于正整数，设。

如此的称为的Smarandache函数。设是正整数，如果的不同因数之和等于，则称是完全数。Ashbacher将完全数的概念推广到了Smarandache函数范围，将满足的正整数称为Smarandache完全数。对此，他证明了：当时，仅有Smarandache完全数编辑器。

整数通常是程序设计语言的一种基础形态，例如Java及C编程语言的int类型。整数问题是实际应用中经常要解决的问题。整型数据根据其所占内存大小可分为基本整型（int）、长整型（longint）、短整型（short int），根据数据满足的某些性质又可将其分为完全数、水仙花数和亲密数等完全数作为计算机Python语言的一种基础工具，可以解决各种整数问题，简化计算过程。

完全数是被古人视为瑞祥的数。6这个数人人都喜欢，它代表吉祥如意。神话上说至高无上的宇宙之神在六天之内创造万物，第七天休息，从此有一周七天、星期日休息的作休制。意大利把6看成是属于爱神维纳斯的数，以象征美满的婚姻及健康和美丽。中国古代哲人那时大概还不知道6是个完全数，但他们却总是把6作为一个周期完成的标志，像《周易》就是以六爻成卦的。