数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学演绎推理方法。它主要用于证明某个命题在全部或部分自然数范围内的成立性，以探究特定规律或界定命题的适用范围。数学归纳法不仅适用于自然数，也广泛应用于更一般的良基结构的证明，如在四色猜想的证明中所展现的。即便在表面上没有显而易见的自然数递推关系，数学归纳法仍然适用，特别是当其深层结构与自然数存在某种对应关系时。比如，在集合论中用于树的分析。这种广义的数学归纳法称作结构归纳法，可应用于数学逻辑和计算机科学领域。此外，数学归纳法还有各种变形，例如皮耶·德·费玛的无穷递降法，这是一种用于反证的数学归纳法。

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个，第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺骨牌效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，

第一步：验证n取第一个自然数时成立

第二步：假设时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将代入假设的原式中去。

最后一步总结表述。

需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：

证明1：所有的马都是一种颜色

首先，第一步，这个命题对时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。

第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有匹马时，不妨把它们编好号：

对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；

对这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；

由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这种马都是同一种颜色。

这个证明的错误来于推理的第二步：当时，，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求过程对的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。

证明2：举例证明下面的定理

——等差数列求和公式

第一步，验证该公式在时成立。即有,，所以这个公式在时成立。

第二步，需要证明假设时公式成立，那么可以推导出时公式也成立。步骤如下：

假设时公式成立，即（等式1）

然后在等式两边同时分别加上得到（等式2）

这就是时的等式。我们下一步需要根据 等式1证明 等式2 成立。通过因式分解合并，等式2的右边也就是这样我们就完成了由成立推导出成立的过程，证毕。

结论：对于任意自然数n，公式均成立。

对于以上例2的分析

在这个证明中，归纳的过程如下：

数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：

自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）

比如这个正整数集合中有最小的数——1.

下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：

对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。

对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以）

k已经是集合S中的最小元素了，所以是不属于S，这意味着对于命题而言是成立的——既然对于成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。

注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。

在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从0以外的数字开始

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：

第一步，证明当时命题成立。第二步，证明如果成立，那么可以推导出也成立。

用这个方法可以证明诸如“当时，”这一类命题。

针对偶数或奇数

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：

奇数方面：

第一步，证明当时命题成立。第二步，证明如果成立，那么可以推导出也成立。

偶数方面：

第一步，证明当或2时命题成立。第二步，证明如果成立，那么可以推导出也成立。

递降归纳法（又称递归归纳法）

数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而比较容易验证，并且我们可以实现从k到的递推，的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的，原命题均成立。如果命题P(n)在时成立，并且对于任意自然数k，由成立，其中t是一个常量，那么P(n)对于一切自然数都成立.

跳跃归纳法

设P(n)表示一个与自然数n有关的命题，若(1)P(1)，P(2),…,P(l)成立;(2)假设P(k)成立，可以推出成立，则P(n)对一切自然数n都成立.

第一数学归纳法

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当（，k为自然数）时命题成立，证明当时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数，命题P(n)都成立。

第二数学归纳法（完整归纳法）

另一个一般化的方法叫完整归纳法（也称第二数学归纳法），在第二步中我们假定式子不仅当时成立，当n小于或等于m时也成立。这样可以设计出这样两步:

则命题成立。

例如，这种方法被用来证明：

其中fib(n) 是第n个斐波那契数和。 (即黄金分割)。如果我们可以假设式子已经在当和时成立，从之后可以直截了当地证明当时式子成立。

这种方法也是第一种形式的特殊化：

结论：P(n)对一切自然数n成立。

倒推归纳法

又名反向归纳法

（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是，）；

（2）假设成立，并在此基础上，推出P(k)成立，

综合（1）（2），对一切自然数，命题P(n)都成立；

螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)，

（1）验证时P(n)成立；

（2）假设成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k)成立，能推出 成立；

综合（1）（2），对一切自然数，P(n)，Q(n)都成立。

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用递推关系巧妙地证明出前n个奇数的总和是，由此总结出了数学归纳法。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成：

递推的基础：证明当时表达式成立。

递推的依据：证明如果当时成立，那么当时同样成立。

这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。