数论（number theory），也叫算术、高等算术、理论算术，是研究数的性质和规律的一门学科，是纯粹数学的分支之一。

数论起源于公元前500多年，古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoreans）是第一个研究数的性质的学者。公元前300年，古希腊数学家欧几里得（Euclid）把正整数的研究推向前进，在其著作《几何原本》中，首次给出了因数、倍数、素数、互质等基本概念的定义。250年前后，中国通过《孙子算经》等古算书的发表开始研究同余理论。17世纪，关于整数的研究在欧洲兴起，法国数学家皮耶·德·费玛（Fermat）提出了“费马大小定理”。18世纪，法国数学家约瑟夫·拉格朗日（Lagrange）在其著作首次提到了“数论”这一名称。1801年，德国约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Gauss）的《算术探讨》（Disquisition Arithmetical）一书给出了同余的规范定义，被视为现代数论的里程碑。1844年，法国数学家约瑟夫·刘维尔（Liouville）构造出历史上第一批超越数，开创了对超越数论的研究。19世纪中叶，代数数论和解析数论两个分支学科相继诞生。20世纪90年代，计算机开始用于数论研究，使得许多过去无法验证或无法实现的数论问题得以实现和证明。

数论按其内容和方法大致可分为初等数论、解析数论、代数数论、几何数论、超越数论、计算数论、组合数论、算术代数几何。初等数论方法主要是欧几里得算法；解析数论方法有解析方法和莱昂哈德·欧拉求和法；估计方法有均值估计和阶的估计方法。可约理论和同余理论是数论的两个基本问题。数论研究中有一些引发关注的猜想，如费马猜想、哥德巴赫猜想、梅森素数猜想、素数个数的猜想等。数论的理论与成果在现实世界中应用广泛，如，在密码学中，使用同余和同余计算可以设计字符密码，它可以提高安全级别。

数论，也叫算术、高等算术、理论算术，是纯粹数学的分支之一，是研究数的性质和规律的一门学科。

数论的研究对象是数。人类从学会计数开始就一直和自然数打交道，后来由于实践的需要，数的概念得以进一步扩充，自然数又叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数之间的中性数叫做0，它们合起来统称为整数。对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。而整数的基本元素是素数（也称质数）。因此，数论是一门研究整数性质的学科。

数论的起源要追溯到公元前500多年。人们在认识了数的概念之后，开始接触到数的一些性质，第一个研究数的性质的学者是古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoreans）。毕达哥拉斯学派秉持“万物皆数”的哲学思想，为探索自然的奥秘而研究数。大约在公元前300年，古希腊另一位数学家欧几里得（Euclid）把正整数的研究推向前进，在其著作《几何原本》中，首次给出了因数、倍数、素数、互质等基本概念的定义，并对所得到的结论进行了证明，从而使数论的研究严格化。欧几里得不仅证明了关于自然数和素数之间的积性关系，还证明了素数个数的无穷性，提出了计算最大公约数的辗转相除法。他的工作形成了初等数论的雏形。大约在公元前240年，希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）给出了寻找不大于给定的自然数的全部素数的“筛法”。

250年前后，古希腊代数学家丢番图（Diophantus）研究了初等数论的不定方程问题，他将自己的研究成果写成了《算术》一书，这本书开启了中世纪的初等数论研究。与此同时，东方数学家也开始了对数论的另一领域——同余理论的研究。约公元300年，中国《孙子算经》成书，其中记载了与同余有关的“物不知数”问题。印度数学家婆罗门多（Brahmagupta，7世纪）、摩柯吠罗（9世纪）等的著作中，都有和该问题相同的一次同余问题，印度数学家也探讨了解法。中国南宋时期的数学家秦九韶所提出的“大衍求一术”，给出了具体且完备的解一次同余方程组的方法。之后，该方法传入西方获得认可，因此，欧美的整数论者都推崇秦九韶的贡献，并把他的“大衍求一术”称为“中国剩余定理”。

17世纪，关于整数的研究在欧洲兴起，法国数学家皮耶·德·费玛（Fermat）提出了许多未证明的定理，如“费马大小定理”。1657年2月，费马在致弗雷尼克·德·贝西（Bernard Frénicle de Bessy）的一封信中提出一个定理：在是正整数而非完全平方时有无穷多个解。莱昂哈德·欧拉（Euler）把这个方程称为佩尔（Pell）方程，并流传至今。18世纪，欧拉推翻了费马数都是素数的结论，证明了费马小定理的正确性，利用连分数给出了佩尔方程的最小解，并在其《代数指南》中使用“无穷递降法”，使之成为数论研究中重要的方法之一。同一时期，法国数学家约瑟夫·拉格朗日（Lagrange）的著作《数论随笔》（Essai surla theorie des nombres）对数论的研究起了奠基作用。“数论”这个名称就是从这本书的书名得来的。

1783年，莱昂哈德·欧拉首先发现了初等整数论中的高斯互反律，法国数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德（Legendre）在1785年也独立提出，但他们都没有证明。1796年，德国约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Gauss）才给出高斯互反律的严格证明。1798年，阿德利昂·玛利·埃·勒让德在研究二次剩余的过程中，引入了一种记号表示二次剩余，该记号后来被称作勒让德符号。同年，勒让德关于数论的研究书籍《数论随笔》（Essai sur la théorie des nombres）出版，他分别于1808年和1830年再版书籍。

19世纪以前，数论还仅是一系列孤立结果的罗列，1801年，高斯（Gauss）的《算术探讨》（Disquisition Arithmetical）一书的出版则标志着现代数论的开始。在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化，并进行了推广，把要研究的问题和已知的方法进行了分类，还引进了新的方法，使数论成为了一门独立的学科。

现代以来，数论分支进一步分化和发展。法国数学家约瑟夫·刘维尔（Liouville）发现无理代数数的有理数逼近的精密性有一个限度，借此他于1844年构造出历史上第一批超越数，开创了对超越数论的研究。19世纪中叶，德国数学家库默尔（Kummer）和戴德金（Dedekind）将高斯的研究成果成功地推广为数论分支学科——代数数论。此外，在19世纪中叶，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）发表了《数论讲义》，对高斯的著作《算术探讨》给予明晰的解释，并运用分析方法作为工具，构建了一批函数。1858年，德国数学家伯恩哈德·黎曼（Riemann）发表了一篇关于素数分布的论文《论不大于一个给定值的素数的个数》（Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse），其中正式宣告了又一个数论分支学科——解析数论的诞生。1896年，法国数学家雅克·阿达马（Hadamard）根据黎曼的方法与结果，应用整函数理论，成功地证明了素数定理，从而建立了解析数论的基础，让解析数论成为20世纪活跃的数论分支之一。同一时期，数学家赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowskin）创立和发展了几何数论，并运用几何学的方法解决数论、数学物理和相对论领域的问题。

1898年，德国数学家戴维·希尔伯特（Hilbert）在对各代数数域的性质加以系统总结和发展，代数数论得以定型。到1927年，日本数学家高木贞治（Takagi）和埃米尔·阿廷（Artin）完成了代数数论的主要理论之一——类域论。1927年，荷兰数学家范·德·瓦尔登（B.L.van der Waerden）提出的范德瓦尔登定理，开创了组合数论的先河。

20世纪30年代，苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradov）创造性地提出了用于解决某些数论难题的“三角和方法”。此外，中国数学家在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等数论专家。其中，华罗庚在三角和估值、堆砌素数论方面都有深入的研究。1949年以后，数论的研究得到了进一步的发展，体现在许多猜想问题的解决上，如，中国数学家陈景润于1966年部分地证明了哥德巴赫猜想。

在超越数论中，数学家罗特（Roth）于1955年所著的《对于代数数的有理逼近》确立了图埃—西格尔—罗特定理。后来，数学家乌尔里希·贝克（Baker）将其在超越数论方面的研究成果整理成专著《超越数论》。20世纪90年代，计算机开始用于数论研究，使得许多过去无法验证或无法实现的数论问题成为可验证或可实现的，并由此形成了一门数论分支学科——计算数论。现代数论已经渗透到数学的许多分支学科和计算机等其他学科，渗透与结合所产生的成果，已经被广泛应用于密码、信号、计算机性能检验等领域。

数论成为一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也不断地增加，数论按其内容和方法大致可分为初等数论、解析数论、代数数论、几何数论、超越数论、计算数论、组合数论、算术代数几何。

初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支，也是数论的一个古老分支。它以算术方法（初等数学方法）为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式、素数、原根等。本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。初等数论中重要的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是费马小定理）、高斯的二次互反律，勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解法等。

解析数论是借助微积分及复分析的方法来研究整数的问题，主要分为积性数论与加性数论两类。积性数论通过研究积性生成函数的性质来讨论素数分布的问题，其中素数定理与狄利克雷定理为这个领域中较为重要的研究成果。加性数论则是研究整数加法分解可能性与表示的问题。解析数论具体的方法有复积分法、圆法以及三角和方法。

代数数论的研究对象是代数整数和代数数域，它将整数环的数论性质研究扩展到了更一般的整环上，特别是代数数域。一一般认为代数数论起始于德国约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，他研究了二次型（相当于二次域）和分圆域。代数数论的系统理论创始于德国数学家库默尔，和费马大定理相关。此外，库默尔还发明了代数数论的最基本概念：理想数（后来称为理想）。后来德国数学家戴德金将库默尔的理想数和分圆域等理论系统发展到一般数域，建立了代数数论的基本理论，如理想的分解理论。代数数论与代数、函数论、代数几何等分支学科有交融，共用了一些研究方法。

几何数论是由德国数学家、物理学家赫尔曼·闵可夫斯基等人开创和奠基的，几何数论主要在于通过几何观点研究整数（在此即格点，也称整点）的分布情形，其研究的基本对象是“空间格网”，即在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点，全部整点构成的组就称为空间格网。几何数论的主要研究成果包括闵科夫斯基定理，该定理对于研究二次型理论有着重要作用。

超越数论是法国数学家约瑟夫·刘维尔最先开始研究的，它起源于超越数的发现。当一个数可以被写成含有理系数的多项式方程的根的形式时，不论这个数是实数还是复数，这个数都被定义为代数数；否则，就是超越数。因此，超越数被定义为：不能满足任何整系数代数方程的实数。超越数论研究数的超越性，特别是对于欧拉常数与特定的Zeta-函数值的研究。林德曼-卡尔·魏尔施特拉斯定理是19世纪超越数论的一项重要成果。超越数论的发展已采用了交换代数、代数几何、多复变函数理论及上同调理论等方法。但是，超越数论还有许多问题尚未解决，如沙鲁尔猜想、欧拉常数的超越性猜测等。

计算数论是借助电脑的算法帮助研究数论的问题，它是随着计算机科学的发展而出现的一个数论的分支。素数的判别和大数的分解都是计算数论的重要组成部分，例如素数测试和因数分解等和密码学相关的课题都与计算数论相关。数论学家和计算机专家们对于计算数论已进行了深入的研究，对于四十多位的数进行判别，能在很快的时间内得到结果。在较好的计算机上判别一个一百位的数是否是素数，在不到一分钟的时间内就能得到结果。

组合数论是研究整数集合的组合性质，即利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由匈牙利籍科学家和数学家保罗·埃尔德什（Erdös Pál）开创的思路，可应用于兰伯特猜想的简化证明。1927年，荷兰数学家范·德·瓦尔登证明：如果把全体正整数集划分为有限个子集，那么至少有一个子集包含了任意长的等差数列（长度为的数列就是指有个数构成的数列）。这就是范德瓦尔登定理，它开创了组合数论的先河，揭示了在数论中“不存在完全的无序”的事实。1978年，数学家屠规彰解决了国际上提出的一个关于组合数论的猜想和关于最优搜索树的问题。

算术代数几何是数论发展的前沿领域，可谓集大成者。它从代数几何的观点出发，通过深刻的数学工具去研究数论的性质。比如英国数学家安德鲁·安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明费马猜想，这整个证明几乎用到了所有最深刻的理论工具。

可约理论研究数的可约性，即考察一个数能否分解因数。任何一个大于的整数只有一个归属：或者为素数（除和自身外没有其他因素的整数），或者为复合数（除和自身外还有别的正因数的整数）。数论的基本定理表明：任何大于的整数均可唯一地表为素数之积。这些大于的整数的标准因子分解式可表示为：，其表示不同的素因子；表示它们在中出现的次数。

同余理论，即当和是整数时，如果恰被整除，则称是的模剩余，或者是的模剩余记为：。同余理论应用于研究整数的性质，包括同余、同余式、剩余类、完全剩余系和简化剩余系等基本概念及性质，以及费马小定理和欧拉定理。其中，同余式理论的建立归功于中国古代数学家秦九韶的“大衍求一术”，它比欧洲人的发现早好几个世纪。

欧几里得算法，也叫辗转相除法。它是初等数论中研究整除性的一种经典方法，主要应用于同余理论的研究。从整数的除法可知：对任给两整数，必有两整数及存在，使得，并且及是唯一存在的，这是数论的一条基本定理，整数的一系列重要性质都可以由此得到。如果反复利用这一基本定理，就可以得到欧几里得算法，即：；；；；；。因为每进行一次除法，余数就至少减1，而是有限的正整数，所以最多进行次，总可以得到一个余数是零的等式，即。利用欧几里得算法，可以求出任意两个非零整数的最大公约数。

解析方法主要是以函数论为工具来研究数论问题。解析方法主要包括：伯恩哈德·黎曼函数与狄里赫利函数的理论、复变积分法以及指数和即三角和的方法等。莱昂哈德·欧拉最先将解析方法用来研究数论问题，他在研究素数分布问题时，利用算术基本定理证明了一个恒等式：对实数，有，其中表示展布在全体素数上的乘积，这一恒等式称为欧拉恒等式，实质上是算术基本定理的一个解析等价形式，揭示了素数的性质与函数的性质之间的一种本质联系，从而使素数分布问题借助于解析方法获得了一系列结果。

欧拉求和方法是解析数论的基本方法。在估计和式时，经常遇到的情形，其中是一个定义在实轴上的实函数，具有一定的光滑性，或者是单调函数，经常会用到欧拉求和方法，它的基本思想是，利用关于积分来估计和式，其基本法则为：

在数论中经常要研究一个数论函数当时的性状。但是数论函数值的分布往往是很不规则的，而它们的算术平均值，即均值估计与相比往往要规则得多。例如，有以下的均值估计，这时称的平均阶为。对于函数则有均值估计：，，其中为常数，由此的均值估计为，即它们的平均阶都是。研究各种均值估计在数论中有重要意义。在解析数论中，某些结果的改进往往要首先依靠某种均值估计进一步改进。例如，关于哥德巴赫猜想的结果，其关键就在于运用一种新的加权筛法并证明了新的一类均值定理。

阶的估计方法在本质上属于极限的方法，包括各种和式的估计法。阶的估计方法所研究的主要对象是各种形式的变量，特别是无穷大量与无穷小量，它们合称为无穷量。无穷量的定义只刻画变量的变化趋势。若，当时，称时，相对是一个无穷小量，特别当与都是无穷大量时，称是比低阶的无穷大量或比为高阶的无穷大量；与都是无穷小量时，称是比高阶的无穷小量。当时，称与是同阶的，特别当时，称与是等价的。在时，往往将无穷小量作为基本无穷小量，并用它去度量其它的无穷小量。在，凡是与同阶的无穷小量其趋于的快慢都是一个等级的，可用数来反映，并称它们都是阶的无穷小量。在理论与实际中所遇到的无穷量往往比较复杂，在许多问题中对一个函数的精确性状的要求不是很高，而且只对其阶作出符合要求的估计就可以，但要对变量的阶进行估计，就需要一个重要的符号：大“0”或“”。

数论里有很多猜想，如费马猜想、哥德巴赫猜想、梅森素数猜想、素数个数的猜想、黎曼猜想和孪生素数猜想等，在解决这些猜想的过程中，对数学的发展和应用产生了积极影响。

1637年，法国数学家皮耶·德·费玛提出费马猜想，又称费马大定理，费马猜想简单地表述为：对任意大于的自然数，方程无正整数解。1976年，数学家用计算机证明了对小于125000的幂指数，费马猜想是正确的。1983年，德国数学家法尔廷斯（Faltings）证明了对每一个大于的，方程至多有有限个本原整数解，从可能有无限多个解一下子到了至多有有限个解，将证明推进了一大步。之后，法尔廷斯在1995年发表文章《泰勒和怀尔斯对费马猜想的证明》（The proof of Fermat’s Last Theorem by R.Tayloy and A.Wiles）中宣称：费马猜想在1994年9月被证明。

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫（Chr. Goldbach）给欧拉的信中提出这样的猜想：每一个大于的数一定是三个素数之和。同年6月30日，长城欧拉给哥德巴赫的复信中将它修改为：任意一个大于的偶数都可以表为两个素数之和。这就是哥德巴赫猜想。1770年，数学家爱德华·华林（Waring）在叙述哥德巴赫猜想时增加了“每一个奇数或是素数或是三个素数之和”的叙述。1775年，长城欧拉证明了形状为且不超过的偶数一定可以表为两个素数之和。1855年，数学家杰波夫（Desbovers）证实了从到的每一个偶数至少可以用两种方式表示为两个素数之和或者表示为某个素数的两倍（在杰波夫的论证中将也称为素数）。1894年，德国数学家格奥尔格·康托尔（Cantor）对于小于的正整数证实了哥德巴赫猜想。1896年，数学家奥伯利（Aubry）证实了在到的整数之间，哥德巴赫猜想成立。同年，数学家荷斯纳（Haussner）证明哥德巴赫猜想一直到都是成立的。1905年，数学家玛利特（Maillet）证明了在不超过的正整数中至多除去个数，哥德巴赫猜想都成立。1966年，中国数学家陈景润宣布证明：对于一个充分大的偶数，总可以表示成，其中为素数，即命题“”。1973年，他给出该命题的详细证明。

1644年，法国数学家梅森（Mersenne）在他的《物理——数学探索》的序言中，就提出了梅森素数猜想。形如的数称为梅森数，梅森素数猜想是指：存在无穷多个素数，使得为素数。梅森猜想出个值，能使梅森数成为素数。这个值分别是，它们都是素数。梅森虽然提出了个值能使梅森数成为素数的猜想，但是他对这个值并没有全部进行验证。1772年，数学家莱昂哈德·欧拉证明了是素数。1877年，吕卡证实了是素数，同时他还证明了不是素数，梅森猜想出现错误。1886年，被证明是素数；1911年和1914年与又相继被证明是素数。1922年，被证明不是素数，梅森猜想再次出现错误。

素数个数的猜想是研究不超过的素数的个数的性质。1808年，阿德利昂·玛利·埃·勒让德（Legendre）考察了的数值：当增加时，的数值也增加。当很大时，数值的增加呈现出一定的规律性。勒让德研究这种规律性并指出：对于充分大的，渐近地等于（所谓渐近地等于是指：这两个数之商在趋于无穷大时所得的极限值为1）。高斯考察了以1000个连续正整数为单位时在每一个单位中素数的个数。他在1876年提出以来表示充分大时素数分布的平均密度（即单位区间中素数所占的比例），这两个猜想都可以归结为式成立。1896年，素数个数的猜想被法国数学家雅克·阿达马（Hadamard）和泊桑（dela Vallée Poussin）分别独立地证明。此后，关于素数个数的猜想被称为“素数定理”。

1859年，德国数学家伯恩哈德·黎曼在其论文《论不大于一个给定值的素数个数》中，研究了黎曼—函数，并将素数分布问题归结为对该函数的研究，提出了黎曼—函数的6个猜想，其中第5个猜想为：在带状区域中，黎曼—函数的零点都位于直线上。由于其余5个猜想都已陆续被证实，于是就称这一猜想为黎曼猜想。1903年，革兰（Gram）证明的前15个零点对黎曼猜想成立，成为该猜想研究的最早成果。1966年，非平凡零点已经验证到了350万个。1986年，计算机已经能够算出满足黎曼猜想Zeta函数前15亿个非平凡零点。2000年，黎曼猜想被美国克雷数学研究所列为21世纪的重要数学问题。2018年，德国海德堡数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）宣称自己证明了黎曼猜想，虽然未被认同，但也为破解黎曼猜想提供一种新思路。

1849年，法国数学家波林那克（Polignac）提出孪生素数猜想，指存在无穷个素数使得也是素数，这类素数对称为孪生素数，如和，和，和，和等。1923年，英国数学家戈弗雷·哈代（Hardy）和李特尔伍德（John Edensor Littlewood）提出了孪生素数猜想的一个更强的形式，通常称为哈代一李特尔伍德猜想或强李生素数猜想。这一猜想不仅提出孪生素数猜想有无穷多组，而且还给出其渐近分布形式为：，其中表示小于的孪生素数的数目，被称为孪生素数常数。1973年，数学家海斯雷（Hensley）和理査德（Richards）证明了下列结果：如果不等式成立，则孪生素数猜想不成立。

近代计算机科学和应用数学的发展，使数论得到了广泛应用。数论的许多研究成果被应用到数学分析、密码学、数字信号处理和物理学等领域。

数论在近似分析问题上的系统的应用研究，在20世纪50年代开始发展起来。数论方法可以用来研究多变数的近似分析问题。首先用数论方法构造出高维立方体中的一支分布点集贯，然后将这一点集贯用于高维近似分析问题，即利用它将一个连续性的问题化为离散性的问题来处理。例如，要计算一个高维立方体上的定积分，就用事先选定的一致分布点集上的被积函数值构成的单和来逼近多重积分。在被积函数适合一定的条件下，逼近的误差主阶是与维数无关的。此外，也可以利用一致分布点集贯来构造逼近多变数周期函数的三角多项式，利用它来构造近似计算某类积分方程解的代数方程组等。

密码学中大部分算法都涉及到模指数运算，都是基于大数的素分解的困难问题和离散对数的困难问题来设计的，所以几乎很多都会应用到数论知识。例如，在密码体制中，传递者要传递的信息叫做明文，传递者用密钥把明文加密成密文，然后把密文传递给消息的合法接收者，最后消息的合法接收者用同一个密钥解密密文得到明文。字符密码就是将明文的每一个字母都转换成不同字母来生成密文的密码系统，这种密码使用了初等数论的同余和同余运算。

在数字信号处理中，而计算离散傅里叶变换和卷积的数学变换——NTT变换、WFTA变换都是以数论作为数学工具的。数论变换是在以正整数为模的整数环（域）上定义的线性正交变换，所用的运算法则是数论中的同余运算。在整数域上进行算法处理，降低了计算的复杂度。同时，数论变换不需要对三角函数值进行存储，节约了存储空间。当然，它也存在着应用范围较狭窄的缺陷。

物理学中存在大量需要解决的问题，例如：由晶体势求原子势问题，由晶格比热求声子密度的问题；由黑体辐射场功率求黑体面积温度分布的问题以及半导体中由载流子浓度求态密度分布的问题等，它们都是如何由宏观可测量反过来推求微观不可测量的问题。无论在基础研究还是应用设计方面都具有重要意义。其中，数论中的特殊变换——莫比乌斯变换可以推广至普通函数，建立一些定理，解决物理中的反演问题，如声子比热和黑体辐射逆问题。