丢番图(Diophantus)对算术理论有深入研究,他完全脱离了几何形式,以
代数闻名于世。
亚历山大时期的丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用,对后来的
数论学者有很深的影响。丢番图的《算术》是讲数论的,它讨论了一次、二次以及个别的三次方程,还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定
方程,如果只考虑其整数解,这类方程就叫做
丢番图方程,它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数,而只要求是正有理数。直到丢番图,才把
代数解放出来,摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题,而在解题的过程中显示出的高度的巧思和
独创性,在
希腊数学中独树一帜。他被后人称为“代数学之父”(还有韦达)不无道理。
公元3世纪前后,亚历山大学派的学者丢番图发现1,33,68,105中任何两数之积再加上256,其和皆为某个有理数的平方。在丢番图的上述发现约1300年后,
法国业余数学家
皮耶·德·费玛发现数组:1,3,8,120中任意两数之积再加上1后,其和均为
平方数。此后,其神秘的面纱才逐步揭开。但问题也许并没有完,人们也许还自然会想到:1,在上述性质的数组中,数的个数是否能超越四个。2,有无这样的数组,在两两相乘后加其它数后,还能为完全平方数。
对于任给的n个正整数a_1,a_2,…,a_n,总存在一个
实数x,使得‖a_ix‖≥1/(n+1),i=1,2,…,n,成立,我们给出如下更一般的猜想:对于任给的n个
正数a_1,a_2,…,a_n,总存在n个整数k_1,k_2,…,k_n,使得a_ik_j-a_jk_i≤n/(n+1)a_j-1/(n+1)a_i,对任给的i,j∈{1,2,…,n}成立、并且对更一般的猜想作了一些研究,给出了n=2,3时的证明,其方法较以前完全不同。
《算术》共有13卷,但15世纪发现的希腊文本仅6卷。1973年
伊朗境内的
马什哈德市又发现了4卷阿拉伯文,这样,现存的算术只有10卷,共290个问题。
《算术》具有东方的色彩,用纯分析的角度处理
数论问题。这是希腊算术与
代数的最高途径。它传到欧洲是比较晚的。16世纪,胥兰德翻译出版了拉丁文《算术》。其后,巴歇出版了经他校订的希腊文——拉丁文对照本,这使得
皮耶·德·费玛走向近代数论之路,他在这个本子上写了许多批注,包括著名的
费马大定理。费马的儿子将全部批注插入正文,与1670年再版。