伴随函子(对)(adjoint functor (pair))，亦称相伴函子(对)。范畴论的基本概念之一。它在同调代数等学科中有着重要应用。该概念由坎(Kan, 糖尿病)于1958年提出。设F：L→D，G：D→L为两个函子。若有自然等价h(—，—)：HomL(G(—),—)→HomD(—,F(—))，其中h(—，—)为集值二元映射（即，对∀ A∈L，B∈D，h(B,A)：HomL(G(B),A)→HomD(B,F(A))为双射），则称G为F的左伴随函子，F为G的右伴随函子，而(F,G)称为伴随函子(对)。例如，同调代数中的重要函子G=一ⓧB与F=Hom(B,—)为伴随函子(对)。伴随函子对有着重要的性质，例如，当(F,G)为伴随函子对时，F必是右正合的，G必是左正合的。

在数学研究中，人们往往通过不同的方法来比较所研究的数学对象，例如在范畴论中，利用同构和等价来刻划两个研究对象是相同和等价的，然而同构和等价都是比较强的条件，伴随函子是用更弱的条件来研究对象之间的关系。伴随函子的概念最先是由坎(Kan, D.M.)于1958年提出来的，此后伴随函子理论被广泛应用于范畴、环与模论等研究领域，正如Saunders Mac Lane宣称的那样：伴随函子无处不在，现在它已成为代数学的重要概念及工具之一。

单位泛态射形式定义

给定两个函子F：C→D与G:D→C，自然变换η:1→GF。F G称为伴随对，若对任意C∈C，D∈D，f:C→GD，存在惟一的g:FC→D，使得f=G(g)η。即

类似的，可以定义余单位泛态射来定义伴随。

余单位泛态射形式定义

给定两个函子F：C→D与G:D→C，自然变换δ:FG→1。F G称为伴随对，若对任意C∈C，D∈D，g:FC→D，存在惟一的f:C→GD，使得g=δF(f)。即

单位余单位形式定义

给定两个函子F：C→D与G:D→C，两个自然变换η:1→GF，δ:FG→1。F G称为伴随对，若对任意C∈C，D∈D，有下面的交换图

即δF·F=1F，Gδ·ηG=1。

Hom-Set形式定义

两个函子F：C→D与G：D→C称为伴随对，若每对对象(C，D)，其中C∈C，D∈D，存在一个同构

ψ=ψ：D(FC,D)≅C(C,GD)。

注1：Hom(FC，D)常简记为D(FC，D)=(FC，D)=(FC,D)。

注2：ψ是双射，且在C,D处是自然的，所以Hom(FC,D)事实上是一个双函子，对所有的f:C″→C,g:D→D′，有下面两个交换图(*)

伴随函子在范畴论与表示论中有着广泛应用，如单子余单子、Recollement等概念都是由伴随函子给出的，下面是关于伴随函子的一个重要例子。设B∈M，B⊗-是M到M张量函子，Hom(B,-)是M到MHom函子ψ:Hom(B⊗A,C)→Hom(A,Hom(B,C))是同构态射，并且对任意α∈Hom(A,A′)，γ∈Hom(A,A′)，有交换图

因此，(B⊗-，Hom(B,-))是一对伴随函子。