函子是范畴间的一类映射，函子也可以解释为小范畴范畴内的态射。它们在数学的多个分支中扮演着重要的角色，特别是在代数拓扑学和范畴论中。

函子首先现身于代数拓扑学，其中拓扑空间的连续映射给出相应的代数对象（如基本群、同调群或上同调群）的代数同态。在当代数学中，函子被用来描述各种范畴间的关系。“函子”（英文：Functor）一词借自哲学家鲁道夫·卡尔纳普的用语。卡尔纳普使用“函子”这一词和函数之间的相关来类比谓词和性质之间的相关。对卡尔纳普而言，不同于当代范畴论的用法，函子是个语言学的词汇。对范畴论者来说，函子则是个特别类型的函数。

设C和D为范畴，从C至D的函子为一映射F:

- 将每个对象X∈C映射至一对象F(X)∈D上，

- 将每个态射f:X→Y∈C映射至一态射F(f):F(X)→F(Y)∈D上，使之满足下列条件：

- 对任何对象X∈C，恒有F(id_X)=id_F(X)。

- 对任何态射f:X→Y, g:Y→Z，恒有F(g∘f)=F(g)∘F(f)。换言之，函子会保持单位态射与态射的复合。

一个由一范畴映射至其自身的函子称之为“自函子”。

数学中有许多构造具有函子的性质，不同之处在于它们将态射的方向“反转”。为此，我们定义反变函子F:C→D为：

- 将每个对象X∈C映射至一对象F(X)∈D上。

- 将每个态射f:X→Y∈C映射至一态射F(f):F(Y)→F(X)∈D上。

使之满足：

- 对任何对象X∈C恒有F(id_X)=id_F(X)。

- 对任何C中的态射f:X→Y, g:Y→Z，恒有F(g∘f)=F(f)∘F(g)。

注意，反变函子反转了复合的方向。

在此脉络下，原定义中的函子亦称之为协变函子，以区分和反变函子之间的不同。也可以将反变函子定义为在对偶范畴C^op上的“协变”函子。一些作者即较喜好将所有的表示式写成协变的。亦即，不说F:C→D为一反变函子，而简单写成F:C^op→D（或有时为F:C→D^op），并称之为函子。

从函子的公理中可得出两个重要的推论：

- F将每个在C中的交换图变换成D中的一个交换图；

- 若f为C中的一个同构，则F(f)也会为D中的一个同构。

若函子F满足F(f)为同构当且仅当f为同构，则称之为保守函子。

在任意范畴C上，可定义一个单位函子1C，其将每个对象和态射映射至其自身。也可以将函子复合，即若F为一由A至B的函子且G为一由B至C的函子，则可组成一个由A至C的复合函子。函子的复合依定义是可结合的。这显示函子可以被认为是范畴的范畴中的态射。

一个只具单一对象的小范畴等同于一个幺半群，此一单一对象范畴的态射可被视为是幺半群中的元素，且其在范畴中的复合则可以视为是幺半群中的运算。此时这类范畴间的函子无非是幺半群间的同态。在此意义下，任意范畴间的函子可被视为是幺半群同态至多于一个对象的范畴的一种广义化。

双函子是函子概念在“双变元”时的推广。形式的定义则定义在两个范畴的积上的函子F:A×B→C。函子Hom(-,-)是一个自然的例子，它对第一个变元反变，对第二个变元协变。双函子是有“两个”引数的函子。同态函子即为一个例子；其第一个引数为反变的，第二个引数则为协变的。形式上来说，双函子是一个其定义域为积范畴的函子。例子，同态函子即为Cop × C → Set。多函子是将函子的概念广义化至n个引数。而双函子当然是一个n=2的多函子。

函子本身亦可视为函子范畴中的对象，该范畴中的态射是函子间的自然变换。近来有以“函子的态射”取代术语“自然变换”的趋势。函子也经常以泛性质定义，例子包括了张量积，模或群的直和、直积，自由群与自由模的构造；许多构造可以统合于正极限与逆极限的概念下。泛建构也往往给出一对伴随函子。

- 本质满射函子：使得值域中任意对象皆同构于某个F(X)的函子。

- 正合函子：保存有限极限的函子。在尼尔斯·亨利克·阿贝尔范畴中相当于保存正合序列。

- 忠实函子：使得对任意对象X,Y，Hom(X,Y)→Hom(FX,FY)为单射的函子。

- 完全函子：使得对任意对象X,Y，Hom(X,Y)→Hom(FX,FY)为满射的函子。

- 完全忠实函子：既完全且忠实的函子称为完全忠实函子。F:C→D是完全忠实函子的充要条件是F:C→F(C)是范畴的等价，其中F(C)表示D中由F的像生成的满子范畴。

- 保守函子：使得F(f)为同构当且仅当f为同构的函子。

- 加法函子：指预加法范畴（或加法范畴）中保存同态集（以及双积）的阿贝尔群结构的函子。

- 伴随函子：(F,G)满足下述条件时称为一对伴随函子：Hom(F(-),-)≃Hom(-,G(-))。