复分析，是研究复函数，特别是亚纯函数和复解析函数的数学理论。这些函数定义在复平面上，其值为复数，而且可微。

复分析把数学分析方法从实变数推广到复变数。复数最初从代数方程可以存在普遍解中产生。它们采用a+bi的形式， 式中a和b是实数。a称为这个复数的实数部分，b是复数的虚数部分，i为根号1，是虚数单位。因为复数有两个相互独立的分量a和b，它们在两个变量必须同时处理时就特别有用。例如，已经证明它在流体动力学中的应用特别有价值， 因为流体中的压强和速度处处不同。19世纪中，数学家给复数以几何解释，使它更易于接受。

复分析是研究复函数，特别是亚纯函数和复解析函数的数学理论。这些函数定义在复平面上，其值为复数，而且可微。研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。复分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。

复变函数，是自变量和应变量皆为复数的函数。更确切的说，复变函数的值域与定义域都是复平面的子集。在复变分析中，自变量又称为函数的“宗量”。

对于复变函数，自变量和应变量可分成实部和虚部：

其中和，是实数函数。

用另一句话说，就是函数的成分，

可以理解成变量x和y的二元实函数。

全纯函数（holomorphic 函数）是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上皆可微的函数。

复变函数为全纯函数的充分必要条件是复变函数的实部和虚部同时满足柯西-黎曼方程：

通过上面的这个方程组也可以由全纯函数的实部或者虚部之一来求解另一个。

如果全纯函数的闭合积分路径没有包括奇点，那么其积分值为0；如果包含奇点，则外部闭合路径正向积分的值等于包围这个奇点的内环上闭合路径的正向积分值。

在复分析中，一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。

复变函数f(z)的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。

在复分析中，留数是一个复数，描述亚纯函数在奇点周围的路径积分的表现。在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。