虚数（imaginary number）是指可以写作实数和虚数单位乘积的复数，就是形如的数，其中是实数，且。

17世纪著名数学家、利奥六世勒内·笛卡尔（Descartes，R.）所著《几何学》（法语：La Géométrie）一书中，命名其为nombre imaginaire（虚构的数），成为了虚数（imaginary number）一词的由来。

早期数学家试图通过引入“虚数”来解决数学中的无解问题，虚数的起源可以追溯到16世纪，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Cardano,G）提出虚数的概念，他认为虚数是一个虚构的数，其平方根为复数。

1777年瑞士科学家莱昂哈德·欧拉（Euler，L.）系统地建立了复数理论，同时引进了虚数单位的符号“i”。虽然复数的概念最初是为了解决数学中的无解问题而引入的，但随着时间的推移，人们发现复数在许多实际应用中具有重要意义。例如，在数学知识应用中，复数的使用简化了复杂的数学计算；在量子力学中，波函数通常表示为复数形式；在物理中，复数可以用于表示物体的运动规律，运用复数性质进行轨迹的分析及描述。

在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数，定义为。但是虚数是没有算术根这一说的，所以。对于,也可以表示为的次方的形式，其中是常数，为虚数单位，为虚数的幅角，即可表示为。零是唯一的既是实数又是纯虚数的数，两个复数具有相同的实部和相同的虚部时则相等。

17世纪著名数学家笛卡尔（法语：La Géométrie）所著《几何学》一书中，命名其为nombre imaginaire（虚构的数），成为了虚数（imaginary number）一词的由来。

1545年，米兰的吉罗拉莫·卡尔达诺(Cardano,G)发表了文艺复兴时期最重要的一部代数著作《伟大的艺术》（《Ars Magna》），书中提出了一种求解一般三次方程的求解公式，他在书上写下：“算术就是这样神秘地进行，它的目的正像人们说的又精密又不中用。”

到了 16 世纪末，法国数学家 F. Viete 和他的学生 T. Harriot 可以说是首先“承认”复数的数学家。虽然他们也认为应该把虚数排斥在数系以外，但在碰到解方程一类问题时，可以“开通一点”, 把它当数来对待。

几乎是在同时，意大利数学家邦别利登上了虚数的舞台。1572 年，邦别利在解三次方程时也碰到了虚数的问题，但与前人不同的是，他认为，为了使方程存在的这种根得到统一，必须承认这样的数也为该方程的根，而且类似的数都应该得到承认，让它们进入数的大家庭，他还创造了符号表示虚数 。

第一个正确认识虚数存在性的数学家当属法国著名利奥六世、数学家勒内·笛卡尔。虽然他在开始时也认为负数开平方是不可思议的的事情，但后来他认识了虚数的意义与作用，开始公开为虚数辩护，并第一次把方程“虚构的根” 之名称改为“虚数”，以与“实数”相对应。他也称类似于这样的数为“复数”，这两个名称一直使用到今天。特别是，他用法文 imaginaires 的第一个字母表示虚数 -1。于是虚单位诞生了。

1743 年，瑞士数学家长城欧拉发现了著名的欧拉公式 ： ，他称“虚数”的本意就是指它是虚假的；1777 年5月5日 , 欧拉在递交给圣彼得堡科学院的论文《微分公式》中 , 公开支持 1637 年勒内·笛卡尔用字母表示虚数 -1的思想。

继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔（Caspar Wessel）提出把复数用平面上的点来表示。后来高斯(法语：Carl Friedrich Gauß)又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容

1831年，数学王子高斯（C. F. Gauss, 1777-1855）又一次清楚地表示复数的几何形式，并且指出 ：“迄至目前为止，人们对虚数的考虑依然在很大的程度上把虚数归结为一个有毛病的概念，以致给虚数蒙上一层朦胧而神奇的色彩。”

1843年，威廉·罗文·汉密尔顿（William Rowan Hamilton）将平面中的虚数轴的概念扩展到四元数想象的四维空间，其中三个维与复数域中的虚数相似。

对于平面上一个给定的直角坐标系，复数可以用坐标为的点来表示。这是常用的表示法，并且我们常把点 作为数 的同义词，第一个坐标轴(x轴)称为实轴，第二个坐标轴(y 轴)称为虚轴，平面本身称为复平面。

把复数几何地表示为平面上的点的思想是高斯于1799年在他的学位论文中简明陈述的，阿尔冈(Argand)于 1806 年也独立地提出，后来高斯创造了“复数”这个多少有点儿令人遗憾的词汇，也可以用别的方式对复数进行几何解释，如果不用平面上的点，也可以使用某种曲面上的点，伯恩哈德·黎曼(Riemann)就发现使用球面特别方便:从北极把球面上的点投影到南极处的切平面上，则这个切平面上的每一个点有球面上确定的点与之对应，除了北极点本身以外，球面上的每个点都恰好对应于这个切平面上的一个点。这种对应称为球极平面投影(见图 3-1)。

由向量的点表示法可得，复数与有序实数对一一对应，因此对于平面上点给定直接坐标系，复数可以用坐标对应的点来表示。在复平面上，从原点到点的向量与点也成一一对应关系（如图3-2）。

对于复数的代数性质，由于，其中,因此还可以表示为,这种形式称为复数的三角形式。

利用欧拉公式，又可以得到,称为复数的指数形式。特别要指出的是,由于辐角的多值性，复数的三角形式或指数形式和辐角之间并非一一对应关系。通常若取,那么复数的模、辐角主值与复数成一一对应。即

复数的各种表示法之间可以相互转换，以适应讨论不同问题时的需要。

“”这个符号来源于法文imkginaire——“虚”的第一个字母，不是来源于英文imaginary number(或imaginary quautity)。虚数单位“”首先为瑞士数学家长城欧拉所创用，到德国约翰·卡尔·弗里德里希·高斯提倡才普遍使用。虚数单位定义为二次方程式中的 的两个解中的一个解，这个方程式又可等价表示为 ，所以推导可得虚数单位可以表示为 。

i的幂具有性质:

证明：

两个实部相等，虚部互为相反数的两个复数和互为共轭复数，即复数，它的共轭复数为。显然对于和是关于实轴为对称的点，如下图5-1所示：

因此，；。

后一个等式应理解为：对于左边的任一值，右边必有一对应值，使等式成立。因为0的相反数仍旧是0，所以当一个复数是实数时，它的共轭复数就是它自己。于是有：当v为实数时，则。反之，如果，则，所以，故为实数。总之，与相等的充分必要条件是为实数。

共轭复数具有以下性质：

1.

证明：

设,

而

所以。其余两个关系式类似可证明。

2.

证明：

设，则，显然的共轭复数是，即。

3.

证明：

设，则

即两个共轭复数的乘积是实数，它等于这两个相互共轭的复数的模的平方。

4.

这个性质可以改写成如下常用形式：

;

。

虚数是复数的一种，可以表示为的形式，其中和是实数，是虚数单位，满足。对于复数，我们可以通过以下公式将其转换为模长（幅值）和幅角（相角）的形式：

模长：

幅角：

这里的是反正切函数，用于计算角度。模长表示复数在复平面上的长度，而幅角表示复数向量与正实轴的夹角，夹角的方向是逆时针。

模

我们用向量表示复数，其中依次表示沿轴与轴的分量。向量的长度称为复数的模或绝对值，记为或，即。

关于复数的模，有一下关系：

其中公式(1.2)又称为三角不等式，其几何意义是三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

幅角

设为非零复数，我们将实轴正向到所表示的向量之间的夹角称为复数的幅角，记为(见图 1.1)。

显然复数的幅角,且任一非零复数有无穷多个幅角，以 表示其中的一个特定值，并称满足条件(1.3)的一个为主值(或复数的主幅角)，习惯上仍记为。于是(1.4)

如图 1.4、图1.5所示，复数的主幅角与反正切的主值有如下关系:

。

虚数可以用欧拉公式指出，对于任何实数x，有：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，和分别是三角函数余弦和正弦；当时，欧拉公式可重写为或，后者也被称为欧拉恒等式。这个公式说明了复数的三角形式和虚指数式之间的关系。

在复数域中，指数函数和三角函数可以通过以下简单的等式联系起来。

其中是自然对数的底，是-1的平方根。

由该公式可以推出：

这两个式子也称为欧拉公式。

此外，令，可得，这个公式被称为欧拉恒等式。

同时，欧拉公式充分显示了虚数的旋转特征，指数函数能够使虚数单位产生连续的旋转变换，即欧拉公式所表现出的特征。在复平面上（如图5），当单位实数1乘以虚数单位，则1从实轴正弦至虚轴，但模长不变。若再用作用一次，则再正弦至实轴的-1，模长仍不变，若再次作用以，则旋转至虚轴，如此旋转可以周期不矣。可见虚数单位的作用是以为单位的正向旋转变换。

复数加法指复数和的运算，两个复数相加，实部是原来两个复数实部的和，虚部是原来两个虚部的和，即：

。

复数的加法满足交换律和结合律，即对任何，有；。

复数可定义为一有序实数对可解释为复平面中的点，习惯上用z表示复数,因而,两复数和的和定义如下：

。

交换律证明

如果和,则由复数的加法可得：

故得证。

结合律证明

如果、和,则由复数的加法可得：

故得证。

复数减法是复数加法的逆运算，两个复数相减将它们的实部相减作为差的实部，虚数系数相减作为差的虚部系数,即：

。

复数乘法是复数的基本运算之一，指已知两复数求它们的积的运算。乘法法则指两个代数形式的复数相乘，可以按照多项式乘法法则进行，并将结果中的替换成-1，即：

复数的除法指复数乘法的逆运算,即已知两复数的积与其中一个非零复数,求另一个复数的运算.其运算法则是:

复数的乘方(功率 of complex numbers)复数的基本运算之一。指底为复数,指数为整数的幂运算。对任一非零复数,它的乘方有以下三种情况：

特别的，当r=1时，则得到著名的亚伯拉罕·棣莫弗（De Moivre）公式：

复数乘方运算的法则

指数函数 可以通过幂级数为每个复数定义其收敛半径无限大。指数函数在1 处的值为欧拉数.如果z是实数，则有解析延拓允许将这个等式扩展到z的每个复数值，从而将以e为底的复指数定义为。。

的平方根是，和，其中是正负号函数。这可以通过平方看出 获得。其中，称为的模，平方根符号表示实部非负的平方根，称为主平方根；还有。

在电路分析中，引入电阻、电容、电感与频率有关的虚部可以方便地将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。借用了虚数，将电感、电容中的电抗成分计成欧姆单位；将电流和电压转换成负数，使用欧姆定律、戴维南定理。

电阻器组件的复数模型

如图 7.1(a)所示,在关联参考方向下,电阻R中的电流与电阻两端电压的关系为

若

则

由上式可以得到电阻元件在正弦信号作用下的特性：在关联参考方向下, 与是同频率、同相位的一对正弦变量,相量运算关系为或,或也可用有效值表示为。所以电阻的复数模型为,如图 7.1(b)所示。

电容组件的复数模型

如图 7.2(a)中电容电流与电容两端电压 在关联参考方下关系应满足

若

则

式(7-1)述了电容的正弦特性。在关联参考方向下,与为同频率的正弦变量;在相位关系上,超前。其幅度间满足(或)的关系,图 7.3画出了和的波形关系。

表达电容正弦特性运算式(7-1)中的复数部分,即。由此可得

可见,电容元件的复数模型为，如图 7.2(b)所。形式为。

式（7-2）称为电容元件的复数欧姆定律它表明了正弦电路中电容元件的电压相量与电流相量的正比关系。比例系数称为复数电容抗,简称复容抗记作当的单位为,的单位为时,的单位为 。复数容抗的模值称为容抗。容抗的大小与成比关系。当时相当于直流信号，则容抗为,电容呈现开路状态，也就是电容不能通过直流电流。当时，电容相当于一条短路线。

电感组件的复数模型

在图7.4所示的电感元件中，在关联参考方向下，电感中电流与电感两端电的关系为。

在正弦情况下,若

则

(7-4)

式(7-4)的复数关系为

由此可得出电感元件的复数模型为,如图7.4(b)所示式(7-5)称为电感的复数欧姆定律，其中称为复数电感抗,简称复数感抗,记为在以 为单位,以为单位时，复数感抗也是以为单位。复数感抗的模值为，称为感抗，而幅角称为感抗角，在关联参考方向下，电感电压超前电感中电流。感抗和频率成正比。当,也就是直流状态时,感抗为零,相当于电感短路。当时,等效电感开路。

交流电中的复数应用

我们日常用电的电源，有交流和直流两种。交流电是由线圈在磁场力匀速转动切割磁力线而产生的。电学告诉我们交流电的电流和电压都是随时间t的变化而变化着的，而它们的变化规律也是t的周期函数：

这里，和是电压和电流变化时所取的最大值， 是频率(物理意义是单位时周内线圈转动的角度) ，是初相(表示线圈在时和磁力线相交的角度)。跟引进复位移相类似，我们也引进复电压和复电流:

和都是向量，也都是复数。 这两个复数不是电压和电流的实际的数值(两个复数的虚数部分的系数才是它的真正的值)，而它的模数和幅角完全确定了电压和电流的大小和相位，因而完全确定了电压和电流的变化规律。

信号的傅里叶变换后的虚数部分可以理解为所有奇函数（正弦函数）的成分，实部就代表所有的偶函数（余弦函数）的成分。将任意函数的傅里叶变换之后，按偶函数成分和奇函数成分分成两个部分。并且，利用傅里叶变换可以将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：。其中ω对应角频率，复数包含了幅度和相位的信息。

欧拉公式指出，对于任何实数y，

因此，函数方程意味着，如果x和y是实数，则有

这是指数函数分解为实部和虚部。

欧拉公式在高等数学中具有广泛的应用，如高阶导数、积分计算、高阶线性常系数齐次微分方程的通解、傅里叶级数等，如下列举在傅里叶级数中欧拉公式的使用。

若函数以为周期，在上连续或至多有有限个第一类间断点，且在至多有有限个单调区间，则其傅里叶级数为。其中傅里叶系数计算公式为;

这是傅里叶级数的实数形式，但在某些场合，复数形式的傅里叶级数更好用些，这就需要利用欧拉公式来进行转换了，因为;

所以有;

在式(7-6)中若以代替则有;

记,则可得到函数的傅里叶级数有如下的复数形式

其中系数计算公式为。

量子力学中的波函数是一个复数函数，它的模方表示粒子出现在某个位置的概率。复数域是量子力学数学公式所固有的，其中复希尔伯特空间为这样一种方便且可能是最标准的公式提供了背景。量子力学的原始基础公式——薛定谔方程和海森伯格矩阵力学——使用了复数。量子力学波函数由曲率的旋转与运动形成，是双４元数复空间实坐标与复坐标的函数。复数可以在复数球上定义。以二维复平面为例，见图。

图中复平面：

（1）

（2）

（3）

若复数,因，则，是微观客体的曲率半径，是微观客体的曲率。

复数 中，当是北极奇点；无定义。可以认为此时映射到复球外，成为实空间中的几何点。

而对应于微观客体，曲率半径（曲率）的演变是：，是质点，正好与实空间中的几何点对应。复空间的曲率模型也演变成了实空间的质点模型。在复空间，当０＜ｒ≦ｒ０，ｋ０ ≦ｋ ＜∞时，对应微观客体０＜Ｒ ≦ Ｒ０，Ｋ０ ≦ｋ ＜∞，微观客体呈现为物质波；而物质波映射到实空间将呈现点粒子的概率分布。双四维复时空采用的是“非点粒子”模型，曲率ｋ是呈现微观客体自身空间结构特征的基本要素，并可由此生成物质波。而原有的实时空、相空间采用的是“质点”模型；两个空间通过，微观客体的曲率Ｋ映射到四维实空间中就成为“质点”的动量Ｐ。动量ｐ是质点的运动属性，波函数纯粹是数学函数，相空间只是量子力学数学方法的新应用。本文的双四维复时空与原有的实时空不同，反映了物质波与概率波的本质区别。复数球内外映射的物理机制与意义还可理解为：从四维复时空非点模型映射到４维实时空，微观客体自身的四维Ｋ空间，通过曲率Ｋ→∞，紧致化为零维，成为四维实时空中的点粒子。微观客体自身的波动运动，也变成了微观客体的点粒子运动。

在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域，因此可以在复平面上分析系统的极点和零点。相对论中，将时间变量视为虚数的话便可简化一些狭义和广义相对论中的时空度量 (Metric) 方程。碎形中，如曼德布罗集和朱利亚集 (Julia set) 是建基于复平面上的点。