尺规作图（construction with ruler and compasses，geometric construction）是指从一些已知图形出发，仅限于用没有刻度的直尺和圆规作出新的图。这里的直尺只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；圆规只能够拉开成之前构造过的长度，并且直尺圆规都只可使用有限次。

尺规作图是起源于古希腊的数学课题，一般要求只使用圆规和直尺，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题。最早提出尺规作图是希腊人伊诺皮迪斯（Oenppedes，约公元前463年），后经希腊哲学家柏拉图（Plato，约公元前427～347年）大力提倡，希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330~275）又以公设的形式，明确规定尺规作图是几何作图的基本公法。此外，中原地区古代的《史记》《周髀算经》《墨子》等许多著作也对其有诸多的论述。

尺规作图一般有八种基本作图，其中包括：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角等。其基本作图方法包括过两已知点可作一直线、已知圆心和半径可作一圆等五大公法。另外，三等分角、立方倍积和化圆为方三大尺规作图难题，一直难以取得突破。尺规作图在器物上的大量应用，对早期的器物设计与生产、建筑工程的施工都产生了巨大的影响，使得绘图工具广泛应用于实际的绘图过程之中。

所谓尺规作图（又称几何作图）是指从一些已知图形出发，仅限于用没有刻度的直尺和圆规作出新的图。

这里需要明确以下四点：

（1）尺规作图里的直尺，只能利用直尺的一边作出不确定长度的线段、无限延长一条线段或连结任意距离的两个点。

（2）尺规作图里的圆规大小是无限的，可以作出任意半径长度的圆。

（3）尺规作图中只能用一把直尺和一个圆规。

（4）尺规作图的作图过程必须是可以穷尽的，必须要在有限步骤内完成。

在历史上，最先明确提出尺规限制的是希腊的天文学家、数学家伊诺皮迪斯（Oenopides ，约公元前463年）。他发现了一种在已知直线的已知点上作一角与已知角相等的作图法，这是在尺规的限制下从理论上去解决的一个问题。此后，尺规的限制逐渐成为一种公约，并被总结在欧几里得的《几何原本》之中。这是数学公理化最早的典范，极大的影响了后世自然科学的发展。

欧几里得在《几何原本》中对作图工具的限制，很大程度上接受了伊诺皮迪斯的思想——作图工具只允许用直尺和圆规。并把它们的效能用数学的语言表述出来，这对以后研究作图影响很大。

自从《几何原本》问世之后，基本围绕三大难题研究作图。从现存资料来看，数学家注意到三大难题由来已久。埃及希腊的数学家很可能尝试过用尺规作三大难题，遇到了困难，于是转向寻找另外方法解三大难题。

关于圆积化方（化圆为方）问题，最早记载着作图问题的著作要算英国人兰德（Rhind）1858年获得的纸草书（埃及，Ahames的著作，约公元前2000-1700年），其中记载了圆积化方问题，他以圆直径的为边，作成一正方形，以其面积作为该圆的面积。这也是一种作图法。其次，是希腊数学家希波克拉蒂斯（Hippocrates，约公元前466年）解圆积化方问题时，用比例中项求出正方形一边，作成一正方形，其面积作为圆面积。15世纪，意大利的列奥纳多·达·芬奇（Leonardo davinci）利用2πr和为边作成一矩形，其面积等于r为半径的圆面积，再将此矩形作等积变形，转化为正方形，即得圆积化方问题。日本林鹤一在他的《初等儿何学作图不能问题》一书（汉译本，1957年）中，附录四的最后，介绍他的圆积化方作图法。

关于二倍立方体（立方倍积）。阿尔契塔（Archytas，约公元前428-347年）用直圆柱及射影方法解决了二倍立方体问题。尼克米德（Nicomeds，约公元前250年）利用他自己发现的蚌线（Conchoid），稽乌克莱斯克用他发现的蔓叶线（Cissoid）解决了二倍立方体问题。阿波罗尼斯（AppolloNius，公元前260-170年）以及牛顿（Newton，公元1642-1727）先后都用不同方法作出了二倍立方体。

还有许多数学家不用尺规，而用其它方法解决了三等分角问题。如，希腊有名的数学家，物理学家阿基米德（Archimedes公元前287-212年），从表面看来他用尺规解决了三等分角问题，实际上他用的直尺是有刻度的，不符合欧几里得的规定，虽然解决了三等分角问题，用的不是欧氏的直尺，海倍阿斯（Hippias，约公元前420年）利用他自己给出的一种超越曲线解决了三等分角作图。尼克米德利用他的蚌线不但解决了二倍立方体作图，也解决了三等分角作图。到了近代，巴斯卡（Pascal，公元1588-1651年）利用巴斯卡线（罗贝尔格称为巴斯卡的蚌线），牛顿也利用离心率为2的双曲线分别解决了三等分角问题。

“规”其实就是圆规，它是用来画圆的工具，在中国古代甲骨文中就有“规”这个字。“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者之间用木杠连接以使其牢固，其中的短尺就叫勾，长尺叫股。

矩的使用是中国古代的一项发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲手执矩，女娲手执规”之图形。矩不仅可以画直线、直角，如果加上刻度就可以用来测量，它还可以代替圆规。而且甲骨文中也有矩字，如果追溯的话大概都到大禹治水（也就是公元前2000年）前。

《史记》在卷二记载了大禹治水时“左准绳，右规矩”。赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也”其意思就是如果大禹治洪水，那么必须要测量地势的高低，这样的话就必定要用勾股的道理。这也说明了矩其实起源于很远的中原地区古代。在春秋时代也有许多著作涉及了规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠（制造车子的工匠）执其规矩，以度天下之方圆。”《孟子》卷四中说“离娄之明，鲁班之巧，不以规矩，不能成方圆。”由此就可以看出，在春秋战国时期，在作图、制作器具中规矩已经被广泛地应用了。因为中国古代的矩上已经有刻度，具有较大的实用性，所以它使用的范围比较广。

已知：线段。

求作：线段。

作法（见图3.1）：

①作任意一条直线，并在上任取一点；

②用圆规量出长度，把圆规的一脚尖与点重合，另一脚尖落在直线上的点，则为所求作的线段。

已知：。

求作：。

作法（见图3.2）：

①作射线；

②分别以为圆心，以任意的等长为半径作弧和弧，弧交边于两点，弧交射线于；

③以为圆心、的长度为半径作弧交弧于；

④过作射线，则为所求作。

作出已知线段AB的垂直平分线。具体做法是：分别以A和B为圆心，用圆规作两个相交圆，再用直尺连接圆的两个交点，就得到AB的垂直平分线和中点。

作已知的角平分线，具体的做法是：设和长度相等（若不然，可以通过以为圆心，用圆规以定长为半径，在两射线上截出两点，也就是圆与射线的交点，代替和）。分别以和为圆心，用圆规作半径相等的两个圆交于。最后用直尺连接和，就得到的角平分线。

若在坐标系下考虑，以为原点，以作为轴的正向，的长度作为单位长度，建立坐标系。

设已知，则三个已知点的坐标分别为（见图3.4），用尺规作出的点的坐标为（为某个给定的数）

就相当于根据已知点的坐标作出点的坐标，或者说根据给常数用尺规作出新的数。

设为给定的无限直线，且设已知点不在它上。要求由点作无限直线的垂线。

步骤：

①设在直线的另一侧任取一点。

②且以点为圆心，以为半径距离作圆，交直线于两点。

③设线段被点二等分，连接与，从而得到垂直于。

已知：及线段。

求作：，使，且，高。

作法（见图3.6）：

①作的角平分线；

②在上截取，使；

③过作的垂线，分别与交于，为所求的等腰三角形。

已知：线段和。

求作：以线段为边长的。

作法（见图3.7）：

①作线段，分别以为圆心，以线段的长度为半径作弧交于点；

②连接，则为所求作的三角形。

已知：角、以及所对边。

求作：；使。

作法（见图3.8）：

①作，在上截取；

②以为角的顶点、为角的始边，作（实际是以为始边作），交于，则为所求作的三角形。

为了在智力上追求奥运会精神，古希腊人对作图工具加以限制，这种限制要求作图工具越简单可行越好，于是就想到了只使用最基本的作图工具即直尺与圆规，同时限定了一些使用方式，最终形成了尺规作图五大公法：

① 过两已知点可作一直线；

②已知圆心和半径可作一圆；

③ 已知两直线相交可求其交点；

④ 已知一直线与一圆相交，可求其交点；

⑤已知两圆相交，可求其交点。

五大公法的关键在于后面三个，即需要确定“线与线、线与圆、圆与圆”的交点，而从代数上看，直线和圆可分别用二元一次方程及二元二次方程来表示，因此求交点坐标只会用到有限次的四则运算和开平方运算，即尺规作图相当于代数中的五则运算。

即任给两个数和，用尺规可以作出，这里r是任意有理数。

（i）

给定两个正实数和分别代表两条线段的长度，用直尺画一条数轴用圆规依次向数轴正向标出距离，则线段的长度就是。若沿方向接连标出距离，则可作长度为的线段。

若沿相反方向标出距离，则。

所以两个正实数和之间的加、减法可由尺规作图来实现。若中有负数，仍然以其绝对值为线段长度，只是在数轴上丈量时，取数轴正向的反方向即可。

（ii）

设为正整数，。过作另一条线段，使得（也就是数轴上单位长度的倍）。在上取一点使得。连接，并过点作的平行线交于，因此与相似，所以这样得（见下图5.1）。

再将扩大倍（为正整数），就得到长度为的线段。

（iii）

在任意角的两边分别标出距离，在上作。连接，并过点作的平行线交（或延长线）于。则（见下图5.2）。

在任意角的两边分别标出距离，且在上标出，过作平行于的直线交（或延长线）于，则OC=（见下图5.3）。

设（不妨设）是已知数，在直线上标出距离以及使得是的中点。

作线段OB的中点，并以此为圆心，OB为直径作圆：再作B'B的垂直平分线，该垂直平分线过A并交圆于C（见下图5.4）。不难看出和相似。因此由得，因此，用尺规可作出已知正数d的平方根。

现在，从下出发，取，作出。再从和出发，进而可以用尺规作出所有下列形式的数：

。

例如取，就得到比有理数域范围更广的数。

求作：线段的黄金分割点。

作法：

①在白纸上画出一条线段。过点作的垂线；

②用圆规在垂线上截取，连接；

③用圆规以为圆心，以的长度为半径画弧，交于点；

④用圆规以点为圆心，以的长度为半径画弧，交于点；

点即为线段的黄金分割点。

求作：正四边形

①以为圆心作圆；

②过点作直线，交于圆于两点；

③分别取两点作圆心画圆，得到圆、圆，且圆与圆半径相等，大于圆半径；

④连接圆、圆相交点，得直线垂直并交于圆于两点；

⑤连接得到正四边形。

早在古希腊时期，数学家们就发现了一些尺规作图难题，比如已经被高斯解决的正十七边形尺规作图问题，但是有三大难题一直难以取得突破，它们就是：

（1）三等分角问题，即把任意一个已知角三等分；

（2）立方倍积问题，即求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍；

（3）化圆为方问题，即求作一个正方形，使它的面积等于一个已知圆的面积。

在2400年前的古希腊就已经有人提出了以上这三个问题，可是在欧几里得几何学的限制下，上面这三个问题是不可能解决的。直到1837年，法国数学家万芝尔首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。之后，在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。

只使用直尺和圆规，作正五边形。

只使用直尺和圆规，作正六边形。

只使用直尺和圆规，作正七边形——这个问题看上去很简单，可是它却曾经让许多著名的数学家们都束手无策，正七边形是不能够用尺规作出的。

只使用直尺和圆规，作正九边形，这个图也是作不出来的，因为只有直尺和圆规，不足以把一个角分成三等份。

问题得到解决，是高斯在大学二年级的时候得出了正十七边形的尺规作图法，并且给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的自然数次方和不同的费马素数的积，正是他解决了2000 年来悬而未决的难题。

只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分，这个问题传言是拿破仑·波拿巴（Napoléon Bonaparte）给出的，他这个问题是向全法国的数学家提出的挑战。

单尺作图是指单用一把没有刻度的直尺作为工具的几何作图。直尺的作图功能可分解为：

（1）过一定点向随意方向作一条直线；

（2）过两个定点作一条直线；

（3）延长某一线段。

解决单尺作图问题的一般方法是利用图形的几何性质。

只许用圆规画图的作图方法叫做单规作图。单规作图不但能解上面这样的简单作图题，还能解决许多复杂的作图问题。18世纪意大利数学家马斯开隆尼（L.Mascheroni）证明了一个著名定理：凡是直尺和圆规作图能画出的几何图形，都能用单规作图画出来。但是，用单规作图画六线，只是画出了直线上指定的点。

只用直尺及生锈圆规作正五边形，已知两点，找出一点使得；已知两点，只用半径固定的圆规，求作使是线段的中点。

古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发想出了尺规作图，也正是顺着这思路有了更简洁的表达。

在10世纪的时候，就有数学家提出用直尺和半径固定的圆规来作图。到1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么只要是尺规能作的，单用圆规也能作出。从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已经有了一个圆的情况下，只要是尺规能作的，仅用直尺也能够作出。

设已知，以O为圆心作任意一个圆（如图8.1）。如果线段AB等于圆的半径，设，则，，由此得出用刻度直尺三等分任意角的方法。

在一根直尺上画出刻度，使等于圆的半径，移动直尺保持点在直线上。如果点落在圆上，则这时就是巳知角的，再将移到已知角的一个边上就作出它的三等分线。这个作图方法是阿基米德作出的。

工程尺规作图是工程制图的先决条件，中原地区古代尺规作图在器物上的大量应用，促进了人们对绘图方法、几何理论的研究与应用以及绘制工具的改进。这对早期的器物设计与生产、建筑工程的施工都产生了巨大的影响，并形成了一定的绘制标准，而且使得绘图工具广泛应用于实际的绘图过程之中。例如，建筑设计的最终表现成果是工程图纸，制图和绘画是建筑工程技术人员表达设计意图、交流技术、指导生产施工等必备的基本知识和技能，施工图设计常用制图与绘图方法有尺规作图（手工绘图）和计算机辅助设计（计算机绘图）两种。在信息技术不发达的年代，施工图的制图与绘图采用尺规作图，尺规作图作为建筑设计专业学生的一项重要职业技能被各学校加入了教学日程，满足了建筑设计的需要。