这个定理建立了希尔伯特空间与它的对偶空间的一个重要联系：如果底域是实数，两者是等距同构；如果域是复数，两者是等距反同构。在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理（Riesz representation theorem），它们是为了纪念匈牙利数学家里斯。

对偶空间:一个赋范线性空间H上所有连续线性泛函所组成的空间称为H的对偶空间，记作H*

定义函数:在H*上定义函数

其中 是H上的内积。

里斯表示定理:映射 是一个等距同态映射。

等距同态映射意味着：映射 是双射， ，在复数域C上有:

这个定理建立了希尔伯特空间与它的连续对偶空间的一个重要联系：如果底域是实数，两者是等距同构；如果域是复数，两者是等距反同构。如下所述，（反）同构是特别自然的。

设 是一个希尔伯特空间，令 表示它的对偶空间，由从 到域 或 的所有连续线性泛函。如果 是 中一个元素，则函数 定义为

是 的一个元素，这里表示希尔伯特空间的内积。里斯表示定理断言中任何元素都能惟一地写成这种形式。

定理：映射

是一个等距（反）同构，这就是说：是双射。

的范数与 的范数相等：。

可加:：。

如果底域是，则 对所有实数。

如果底域是，则对所有复数，这里 表示的复共轭。

的逆映射可以描述为：给定中一个元素，核 的正交补是的一维子空间。取那个子空间中一个非零元素，令。则 。

历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇在1907年发现（见参考文献）。格雷（Gray）在评论从他认为是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的发展时说：“给定运算，可以构造有界变差函数，使得无论连续函数是什么，都有

在量子力学的数学处理中，这个定理可以视为流行的狄拉克符号记法的根据。当定理成立时，每个右括号 有一个相应的左括号，对应是清楚的。但是存在拓扑向量空间，比如核空间（Kernel space），里斯表示定理不成立，在这样的情形狄拉克符号变得不合适。

下面的定理表示出上的正线性泛函，紧支集连续复值函数空间。下面所说的波莱尔集表示由开集生成的σ-代数。

局部紧豪斯多夫空间X上一个非负可数可加波莱尔测度 μ 是正则的（regular）当且仅当

• 对所有紧集K；

• 对每个波莱尔集E，

• 关系成立只要E是开集或者E是波莱尔集且 。

定理：设X是一个局部紧豪斯多夫空间。对 上任何正线性泛函ψ，在X上存在惟一的波莱尔正则测度μ 使得

对所有。

领略测度论的一个途径是从拉东测度开始，其可定义为上的一个正线性泛函。这种方式由布尔巴基采取；这里显然假设X首先是一个拓扑空间，而不仅是一个集合。若X为局部紧空间，则可重新建立一个积分理论。

下面定理也称为里斯-马尔可夫定理，给出了的对偶空间的一个具体实现，X上在无穷远趋于零的连续函数。定理陈述中的波莱尔集合同样指由开集生成的 σ-代数。结论与上一节类似，但不能包含在前一个结果之中。参见下面的技术性注释。

如果 μ 是一个复值可数可加波莱尔测度，μ 是正则的当且仅当非负可数可加测度正则（上一节所定义的）。

定理：设X是一个局部紧豪斯多夫空间。对上任何连续线性泛函ψ，存在X上惟一正则可数可加波莱尔测度 μ 使得对所有。ψ 的范数作为线性泛函是 μ 的全变差（total variation），即

最后，ψ 是正的当且仅当测度 μ 是非负的。

注：上任何有界线性泛函惟一延拓为上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是 上一个无界正线性泛函不能延拓为 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。