紧空间（compact space）亦称紧致空间，是一类重要的拓扑空间，其定义为：若拓扑空间X的任意开覆盖都有有限子覆盖，则称X为紧空间。紧空间的条件包含多种等价形式，如具有有限交性质的闭集族有非空交、任意网有聚点等。

19世纪70年代，德国数学家格奥尔格·康托尔（Cantor）证明了所有实数的集合与所有整数的集合不能构成一一对应的集合，开始了抽象集合理论的研究。后来，他创建了一般集合论，逐渐引入了基数、开集、闭集等概念，一般拓扑学萌发于这一时期。后来，数学家们开始研究常见拓扑空间中的紧致性概念，1906年，法国数学家费雷歇（Fréchet，Maurice-René）为了把集合论和函数空间研究统一起来，给出了度量空间的定义，并讨论了其紧性与完备性。1914年，费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）定义了一类足够广泛的拓扑空间，标志着一般拓扑学正式诞生。1921年，菲托里斯（Vietoris , I.）给出了紧性的规范定义。20世纪中后期，紧性、可数紧性以及序列紧性三者的关系成为了一般拓扑学的重要研究课题，夏贝尔（Chaber）在1984年证明了有对角线的可数紧正则空间是紧致的。

常见的紧空间有莫比乌斯带与克莱因瓶。紧空间具备一些基本性质，如紧致空间的闭子集紧致，紧致空间在连续映射下的像也紧致等。一些著名的定理，如波尔查诺-卡尔·魏尔施特拉斯定理、海涅-博雷尔定理描述了常见拓扑空间中的紧致性。拓扑学中的分离性也与紧性密切相关。此外，模糊拓扑与逻辑代数相结合，形成了一些新的拓扑结构，它们也具有紧致性的含义。

紧空间也称为紧致空间，是一类重要的拓扑空间。若拓扑空间的任意开覆盖都有有限子覆盖，则称为紧空间。该定义通过基和子基可描述为：若为的拓扑的一个子基，且由的元组成的的每一个开覆盖有有限子覆盖，则为紧空间。

下面条件与紧性等价：

（1）具有有限交性质的闭集族有非空交。

（2）具有有限交性质的集族其各成员之闭包的交非空。

（3）任意网有聚点。

（4）任意滤子有聚点。

（5）任意极大滤子是收敛滤子。

例如，平凡空间、有限补空间是紧空间，但是实直线不是紧空间。

19世纪70年代，德国数学家格奥尔格·康托尔（Cantor）证明了所有实数的集合与所有整数的集合不能构成一一对应的集合，开始了抽象集合理论的研究。后来，他创建了一般集合论，研究欧几里得空间内的点集，逐渐引入了基数、开集、闭集等概念，实际上是研究了欧几里得空间的拓扑结构。一般拓扑学萌发于这一时期。后来，若尔当（Jordan）等学者引进了一些欧几里得空间中与拓扑结构有关的重要概念，1900年前后，波莱尔（Borel）在伯恩哈德·黎曼（Riemann）二维流形的基础上，在三维空间的直线和平面集合上引入了拓扑结构，对极限概念给予了公理化处理。

后来，法国数学家亨利·勒贝格（Lebesgue, H. I）在证明波莱尔定理时发现该定理对闭区间的任意开覆盖同样成立。1903年，他又将该定理推广到欧氏空间的有界闭子集上。1906年，法国数学家费雷歇（Fréchet，Maurice-René）为了把集合论和函数空间研究统一，在他的博士论文中定义了度量空间，讨论了空间的紧性和完备性。之后，他设计了一种将微积分的极限概念应用于将函数视为向量空间元素的方法，以及一种测量函数之间的长度和距离以产生度量空间的方法，从而开创了泛函分析课题。1912年，亚尼谢夫斯基（Janiszewski, Z.）在抽象空间的研究中也应用了紧性概念。1914年，费利克斯·豪斯多夫（Hausdorff）在德国数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）和赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）观念的基础上，定义了一类足够广泛的拓扑空间，开创了一般拓扑学。1921年，菲托里斯（Vietoris , I.）给出了紧性概念的规范定义。

20世纪中后期，紧性、可数紧性以及序列紧性三者的关系成为了一般拓扑学的重要研究课题。培根（Bacon）等学者给出了等紧性的定义。夏贝尔（Chaber）在1984年证明了有对角线的可数紧正则空间是紧的。

拓扑空间是紧致空间当且仅当的每一具有有限交性质的闭集族有非空的交。

证明：“”：设为紧空间，为中具有有限交性质的闭集族，若，令，又，则为的开覆盖，因此它有有限子覆盖。设，则，从而，这与具有有限交性质矛盾，这样就有。

“”：设的每一具有有限交性质的闭集族有非空的交。若为的任一开覆盖，且设有限子覆盖，即，。令，则为的闭集族，且对应的，有，即具有有限交性质，从而，即，也就是，这与为开覆盖矛盾，从而的任一开覆盖必有有限子覆盖。

拓扑空间为紧致空间当且仅当存在中的一个点是其聚点。

证明：“”：设为紧空间中的一个网，，令，又因为是有向集，由它的后置性有，即集族具有有限交性质，又因为为紧空间，从而，故存在，由相关定理得知是网的聚点。

“”：设为一拓扑空间，且，是其聚点，又设为的一个闭子集族，且具有有限交性质，令为所有的元的有限交的族，显然也具有有限交性质，且，而，，则为有向集，若，选取，则为中的网，从而有聚点。若，且，则，故最终在闭集内，从而有聚点，因此，即，而，故，由上述等价条件1可知，为紧的。

推论：若为林德勒夫空间（Lindelöf），且的任一序列都有聚点，则为紧空间。

（1）维方体是紧致的，或更一般的任意有限多个闭区间的乘积，是紧致的。

（2）维闭球是紧致的。

（3）维球面是紧致的。

（4）维环面是紧致的。

（5）维实射影空间是紧致的，因为它是的商空间。

（6）莫比乌斯带和克莱因瓶都是紧致的，因为它们都是的商空间。

定义：如果空间的每一无限子集至少有一极限点，则称为可数紧的。

空间为可数紧的充要条件为以下两个条件中的任何一个成立。

（1）空间的任一可数开覆盖包含有限子覆盖。

（2）中闭集的任一可数有心族具有非空的交。

联系：虽然在一般情况下可数紧性与紧性并不等价，但是对具有可数基的空间来说，紧的概念与可数紧的概念是一致的。

当且仅当每一个，存在，使得是紧的，则称为局部紧空间。

联系：紧空间都是局部紧空间。局部紧空间与紧空间性质近似，如，局部紧空间的闭子空间也是局部紧空间。

实例：离散空间是局部紧空间。具有通常拓扑的实直线是局部紧的但不是紧空间。

定义：当且仅当上每个实值连续函数是有界的，则称为伪紧空间。

联系：可列紧空间是伪紧空间。伪紧空间是可列紧空间。

关于欧式空间中的紧致性，下述结论等价。

设是欧氏空间的非空子集，则：

（1）是有界闭集；

（2）是紧的；

（3）是可数紧的；

（4）是序列紧的；

（5）具有波尔查诺-卡尔·魏尔施特拉斯性质。

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理：如果内的一个有界集包含无穷多个点，则内至少有一个点是的聚点。

海涅-博雷尔定理可以说明度量空间中的紧致性：设是中的有界闭集的开覆盖，则的一个有限子族也覆盖。它可以得到区间的许多重要性质，引入一类度量空间，海涅-博雷尔定理在该空间成立，并且能够证明区间的许多重要性质在该空间也成立，这类空间称为紧空间。

紧度量空间可定义为：设度量空间的开集簇是集合的一个开覆盖，若包含在中集合的并集，度量空间称为紧的。若的每个开覆盖有一个有限子覆盖，即若存在一个有限簇使得。度量空间的子集称为紧的，若它作为的子空间是紧的，等价于的子集是紧的。若的开集的每个覆盖有一个有限子覆盖。海涅-博雷尔定理说明实数集的每个闭有界子集是紧的。

勒贝格数定义的引入也帮助描述度量空间的紧致性：设是度量空间，是的开覆盖，则称为的勒贝格数。

关于度量空间中的紧致性，下列命题成立。

若是空间的开覆盖，则它每个集合的补集组成交为空的闭集簇，反之亦然。因此一个空间是紧的当且仅当每个交集为空集的闭集簇都有一个交集为空的有限子簇。因此，中的集簇具有有限交性质，若的任何有限子集簇有非空交，则：

（1）度量空间是紧的当且仅当每个具有有限交性质的闭集簇有一个非空交集。

（2）度量空间具有波尔查诺-卡尔·魏尔施特拉斯性质当且仅当它是序列紧的。

（3）度量空间是序列紧的当且仅当其任何开覆盖都存在亨利·勒贝格数。

（4）令为定义在序列紧空间上的连续实值函数，那么有界并且取到它的最大值与最小值。

紧致空间的闭子集紧致。

紧致空间在连续映射下的像也紧致。

吉洪诺夫定理：任意一族紧致空间的积空间总是紧致的。

由该性质可以得到下述推论：任意一个紧致豪斯多夫空间族的积空间是一个紧致豪斯多夫空间。因此，紧致豪斯多夫空间族的积空间的点集是紧致的等价于是闭集。另外，如果是一个紧致豪斯多夫空间族，那么每个投影都是积空间到坐标空间的闭函数。

紧性是有限可加的，即有限个紧集的并是紧集。

紧子集的定义：一个拓扑空间的子集如果作为子空间是紧致的，则称为的紧致子集。是的紧致子集等价于在中任一开覆盖有有限子覆盖。

豪斯多夫空间中的紧致子集：设为紧拓扑空间到拓扑空间上的连续满射，则为紧空间。若为费利克斯·豪斯多夫（Hausdorff ）空间，且为一一映射，则为同胚。

定义：设是一个豪斯多夫空间，如果是的一个不包含点的紧致子集，则点和紧致子集分别有开邻域和使得。

紧致性与分离性具有下述联系：

（1）在一个紧致的豪斯多夫空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集。

（2）豪斯多夫空间中的每一个紧致子集都是闭集。

（3）每一个紧致的豪斯多夫空间都是正则空间。

（4）每一个紧致的豪斯多夫空间都是的。

模糊拓扑空间是模糊数学的基本概念，在经典数学的拓扑空间的概念中，通过引入模糊集合而得到的一种新概念，由一集合以及上的模糊拓扑组成。上的模糊拓扑是指上的模糊子集簇，它满足如下三条性质：一、空集和属于该集簇；二、集簇中的任意两个集合的交仍属于该集簇；三、集簇中的集合的并仍属于该集簇。

近年来，模糊拓扑与逻辑代数相结合，形成了一些新的拓扑结构，它们也具有紧致性的含义。

代数

设是型代数，若存在偏序，使得是有界分配格，是关于的上确界运算，是关于的逆序对合对应，且以下条件成立，则称为代数。

，

，

，

，

，

。

拓扑空间：设为模糊拓扑空间，如果有基（对有限交封闭）使成为方体的子代数，则称为模糊拓扑空间，简称空间。称为基。由该空间可以导出上的分明拓扑，即截拓扑，记为。

定理：为紧空间。

当模糊拓扑空间的截拓扑空间是紧空间时，称该拓扑空间为超紧空间，又因为超紧空间必为良紧空间，所以为良紧空间。