群的思想最早可见于古希腊数学家欧几里得（Euclid）的著作《几何原本》中，但并没有真正出现群的概念。18世纪代数学从属于分析，约瑟夫·拉格朗日（Lagrange）在讨论代数方程根之间的置换时，已有置换群的概念。后来，1830年法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois）在专业意义上第一次使用“群”这个术语，并在之后把“群”一词和排列置换联系起来，用“相似的（semblable）”这一术语，给出子群的概念，描述子群与陪集的关系，进一步通过“相似且相同（semblables et identiques）”给出正规子群的概念。

子群具有一些基本性质，如任何一个非单位元群至少有两个子群，它自身以及由单位元作成的单位元群等。常见的子群有极大子群、极小子群和正规子群等，由生成子群的构造方法可得到一类重要的子群。子群在现实世界中具有广泛的应用价值，例如在机器人领域，机器人的变换可以根据无限连续群的分类法分成几种基本类，子群元素的乘可用于描述机器人的位移变换；在经典力学中，空间中一切位移的集合成群，取一部分位移的集合也可能成群（均指关于位移的积运算），即形成位移集合群的子群。

一个群是指·个非空集合，它满足下列4个条件：

(1)在上定义了一个(二元)代数运算；

(2) 上的运算适合结合律；

(3)中有一个元素，具有性质：,，称是的单位元素；

(4)中每一个元素都有逆元。

如果群的一个非空子集对于的运算也成为一个群，那么称为的一个子群，记做。若子群则称为的真子群，记为

群的思想最早可见于古希腊数学家欧几里得（Euclid）的著作《几何原本》中，但并没有真正出现群的概念。18世纪代数学从属于分析，约瑟夫·拉格朗日（Lagrange）在讨论代数方程根之间的置换时，已有置换群的概念。直到1830年，法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois）在专业意义上第一次使用“群”这个术语，并在之后把“群”一词和排列置换联系起来，用“相似的（semblable）”这一术语，给出了子群的概念，描述了子群与陪集的关系。在伽罗瓦草稿的一段文字中，解释了“相似的”一词的意义：“把诸如此类的一个排列系统称为群。我们将用来表示这个集合。是用替换对整个群作用时生成的群。这将被称为相似的（semblable）。一个群可以与另一个完全不同，但却具有相同的替换。一般而言，这个群将不会是”后来，埃瓦里斯特·伽罗瓦进一步通过“相似且相同（semblables et identiques）”给出了正规子群的概念。

设是群的一个子群，由定义可得子群有以下一些常见性质：

群中一种重要的等价关系。设是群的两个非空子集,是的子群，若存在中元素使得

则称和关于共轭，其中称为按的变形。若为的子群,称为关于的共轭子群；若为一个元的集合，则称为关于的共轭元。设是群的一个子集，是的一个子群，与关于共轭的所有子集组成的集合称为关于的共轭类。当为一个元素的集合,关于的共轭类是元素的集合，简称(的元素）的一个共轭类。

陪集的定义：设是群的一个子群，对于中任一元素称集合为的一个左陪集，简记为因为中有单位元素，所以同样地。可以定义右陪集为

可知,是子群到左陪集的一个一一对应，同样地,是子群到右陪集的一个一一对应。因此，每个左（右）陪集与有一样多的元素。

故由陪集的定义可得：设是群的一个子群,的任意两个左（右）陪集或者相等或者无公共元素。群可以表示成若干个不相交的左（右）陪集之并。

定义：在群中,若存在元素使得对任意都有则称为循环群，记为并称为该循环群的一个生成元。的所有生成元的集合称为的生成集。

由定义可得：设是阶循环群，则

(1)的每一个子群都是循环群；

(2)对于的阶的每一个正因数都存在唯一的一个阶子群，它们就是的全部子群；

子群检验：群的非空子集是子群当且仅当从可推出

证明：先证必要性，由定义可知，如果是群的一个子群，那么任给有设是的单位元，则两边右乘在中的逆元得,由此得出,又由于因此这表明群的单位元是的子群的单位元。任给设在中的逆元为则从中看此式得,因此综述，如果是群的一个子群，那么从可推出

再证充分性，由于非空集，因此存在由已知条件得任给由已知条件得,于是任给由已知条件和已证明的结论得,于是因此群的运算是的运算。由于群的运算满足结合律，因此它在中的限制也满足结合律。上面已证的单位元从而有单位元且任给有因此在中有逆元综上所述,是一个群，从而是的子群。

若是群的一个非空子集，则包含的的所有子群的交仍是的一个子群，称它为由生成的子群，记为

是中含的最小子群，它由中形如的元的全体构成。特别地，当时，子群称为诸子群所生成的子群，记为当只有子群时，记为若则称为的生成元集,中元为的生成元。特别地，当时,中元称为的生成元。若是有限集时，则称为有限生成的，有限群是有限生成的群。

群中，仅由单位元素组成的子集是的一个子群;本身也是的子群.称为的平凡子群（trivial subgroups）。群的其余子群称为非平凡子群（nontrivial subgroup）。

任何一个非单位元群至少有两个子群,自身以及由单位元作成的单位元群

在包含的意义下极大的真子群，它是群的真子群且与之间无的其他真子群。若是群的真子群，并且对于的真子群由得出则称是的极大子群。

极大子群的对偶概念，指在包含的意义下，群的最小的非平凡真子群。它是群的真子群且除了单位元群为真子群以外无其他真子群。若是群的真子群,并且对于的真子群由得出或则称是的极小子群。

正规子群的定义：设是群的子群，如果对任意都有则称是的正规子群，亦称不变子群，记为

子群是的正规子群的充分必要条件：对于任意的有

显然，两个平凡子群和是的正规子群。

设是群到群的一个满同态,是的一个正规子群，

若(在中的原像），则是群的正规子群，且

若是群的正规子群,是的子群，则是群的含的子群，是的正规子群，且在映射下，有

若是群的正规子群,则是的正规子群，且

有限群的阶一定被它的任意子群的阶所等分，即是整数，称为内的指数,正好是关于的一切不同左（右）陪集的个数。

由拉格朗日定理，可得以下推论：

设群的阶为其中为素数,则对于中必有阶子群，其中阶子群（即的最高方幂阶子群）称为的西罗子群。

设群的阶为其中为素数,则

设群的阶为其中为素数,则的西罗子群的个数模同余于并且是的因子，即

模糊代数是模糊数学的一个分支，将模糊集理论应用到群论上，可得到反模糊子群的概念。

设为的模糊子集，若对任意的满足：

1.

2.

则称为的一个反模糊子群。

设与分别为与的反模糊子群，如果存在到的同态满射满足：

1)则称与弱同态，记为

2)则称与同态，记为

3)且为同构映射，则称与同构，记为

由上述可得出以下一些结论：

1.设与分别为的反模糊子群与反模糊正规子群，则

2.设为到的同态满射,与分别为的反模糊子群与反模糊正规子群，如果则其中

3.设为群的同态满射,与分别为的反模糊子群与反模糊正规子群，若为不变的，则

经典力学的主要任务是归纳宏观世界机械运动所遵循的基本规律，用以确定物体的运动状况，或作用在其上的某些力的性质。考虑空间中一切位移的集合，若，且为位移与之积，则，即表示集合关于位移的积运算是封闭的，即满足群公理，一切位移之集合关于位移之积运算是成群的，称为位移群。空间中一切位移之集合成群，取一部分位移的集合也可能成群（均指关于位移之积运算），即形成位移群的子群。

刚体定义为一种被完全约束的质点系统，所有各质点之间的距离在整个运动中都保持不变，这表明刚体的一切运动之集合关于位移之积运算是封闭的；由于刚体运动是位移，而位移之集合成群，故作为的子集，满足结合律；使刚体完成不动的运动可看作是一个恒等运动，可充当的单位元；每个刚体运动都有逆运动，即将刚体从乙位置还原为甲位置的运动，可以看作是从甲位置到乙位置的运动的逆运动。

即满足群公理。于是，刚体的一切运动的集合成群，叫做刚体运动群。该群是位移群的一个子群。

承诺方案是一种基本且用途广泛的密码学原语，可应用在数学签名方案、电子支付协议、零知识协议以及安全多方计算协议等方面。大多数有效承诺方案的构造都可纳入单向群同态这一框架，但单向性的要求较高，使得在实例化时可供选择的群结构受到限制。

基于合数阶双线性群与子群判定假设，分别构造完全隐藏的陷门承诺方案及无条件绑定的承诺方案，在子群判定假设下两个承诺方案分别是计算上绑定和计算上隐藏的。由于构造并不依赖于单向性，为构造承诺方案提供一条新途径。此外，由于双线性群支持双线性映射，所构造的承诺方案不仅具备通常的线性同态性质外，还具备特有的乘性同态性质。

在机器人领域，群论主要应用在机器人运动学的研究中。从群论的角度来看，机器人的位置无论是用矢量表示，还是用旋量表示，或以四元数，双四元数等其他形式表示，其运动变换可以看作是群运算。在变换过程中，连杆的内部结构不变，其变换可以看作是欧几里德群的子群。在机器人运动学中，若采用群描述机器人的运动，可以使表达更简洁更通用。利用群论描述机器人运动还便于设计通用的机器人语言，在机器人操作中，操作物体通常是对称的或具有对称的特性，群可以方便地描述其中的相对关系。

机器人的变换可以根据无限连续群的分类法分成几种基本类，子群元素的乘可用于描述机器人的位移变换。除运动变换外，子群还能用来表示机器人运动的约束，应用连续群理论对机构进行合理的分类，计算机器人末端的可能的运动。