群论（Group Theory）是代数的学科分支，它的研究对象主要是群的性质及结构。群是群论的核心概念，其被定义为：给定非空集合G，定义G上的代数运算“·”，其通常被称为乘法，若满足结合律，存在单位元和逆元素，称集合G在该代数运算下构成一个群，简称G为一个群。群具有单位元e唯一、逆元唯一以及满足消去律等性质，群包括置换群、循环群、对称群、二面体群、矩阵群等。

群论的历史可追溯至19世纪，法国数学家（Évariste Galois）为解决四次以上方程的根提出了“置换群”的概念，标志着群论的建立。后来，法国数学家卡米尔·若尔当（Jordan）给出了群论的基本，学科的发展日趋成熟。19世纪后半叶以来，克莱因等人将群论与几何学、拓扑学相结合，形成了许多新的学科。现在，群论分支主要有有限群论、李群论、群表示论以及几何群论。

群论的知识在数学、物理学、化学、网络设计、密码学等领域都具有广泛应用，例如，一些晶体结构可以通过群的对称性进行研究。

在19世纪之前，数学界在代数方程的理论问题方面已能解决三次和四次方程的求解问题，但对一般五次方程的根式求解问题，数学家们总是无法找到求解公式。1828年，伽罗瓦也开始着力寻找五次和五次以上方程的一般根式解。

为了研究方程的可解条件，伽罗瓦在1830年至1831年1年间三次向法国科学院投递题为“论方程根式可解的条件”的论文，但三次投递论文都没能得到回应与认可，伽罗瓦于1832年逝世，在其逝世14年后的1846年，人们才将伽罗瓦所未能投递的稿子整理成两篇论文发表，其中的理论被数学界视为“伽罗瓦理论”。伽罗瓦建立了方程的根的“容许”置换，提出了“置换群”的概念，得到代数方程用根式解的充要条件是置换群的自同构群可解，这一结论标志着群论的建立。

1846年，法国数学家J·刘维尔（J.Liouville）出版两部手稿，进一步向大众推广群论。1852年，比萨大学的数学家恩里科·贝蒂（Enrico Betti）在托尔托利尼（Tortolini）的《编年史》（Annal）上首次发表了对伽罗瓦方程理论的论述，使群论更容易被大众所理解。在此后，数学家塞雷（Sere）在《代数学》第三版教材书中给出了关于群论的第一个计算。

1854年，英国数学家阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）在《哲学杂志》（Philosophical Magazin）中发表了论文“论群论”，开创了群的抽象概念，但当时凯莱并未对抽象群给出正式定义，直至后来，由德国数学家克罗内克（Kronecker，1870年）、H.韦伯（H. Weber，1882年）和F.G.弗罗贝尼乌斯（Frobenius，1887年）才给出正式的抽象群的定义，完成群论中置换群到抽象群的过渡。

1858年，法国研究所为群论的研究设置了一个奖项，促进了群论的研究，其中包括南希大学数学家埃米尔·伦纳德·马修（Enlile Leonard Mathieu）和巴黎理工学院数学家卡米尔·乔丹（Camille Jordan）分别在1859年和1860年撰写的有关替代群的论文。此后，法国数学家卡米尔·若尔当（Jordan）给出了群论的基本定理，即n字母与每一个在同一个字母上的固定组G构成一组的替换总数是可交换的，此外，若尔当还提出替代群的概念，并论证了其组成要素的稳定性。

1872年，德国数学家菲利克斯·克莱因在埃尔朗根大学发表了题为“近世几何学研究的比较评论”的报告，首次提出将置换群与几何学相联系，给予几何学新的定义。1873年，挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie）提出了置换群论，其将有限连续群应用在无穷小变换中。

1882年至1883年间，迪克（W.vondyck）把上述工作纳入抽象群的概念当中，建立了（抽象）群的概念。至19世纪80年代，数学家们才成功建立了抽象群论的公理体系。至20世纪80年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一，它不但渗透诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学、编码学、自动机理论等方面都有重要作用。

给定非空集合，定义上的代数运算，其通常被称为乘法，若满足以下三个条件，则称集合在运算“”下构成一个群，简称为一个群：

(1) 结合律，；

(2) 单位元：存在，对任意，有；

(3) 逆元素：对任意，存在，使得，称为的逆元素，记作；

群的运算符“”可略去，即。

群的运算并不要求满足交换律，如果某个群中的代数运算满足交换律，则称为交换群（阿贝尔群）。

群的运算也可能为加法，记作，此时结合律为，；单元元素称为零元素，记成，的逆元素称为的负元素，记成。

群的元素可以是有限个，即有限群。也可以是无限个，称为无限群。以表示有限群中元素的个数，称为群的阶，当为无限群时，可以认为=。

群具有以下的性质：

（1）单位元唯一；

（2）逆元唯一；

（3）满足消去律：即对，若，则；若，则仍有；

（4），则，更一般有;

（5）若是有限群，则对任意，必存在一个最小常数，使得，从而，称为元素的阶。

群的非空子集如果对于的运算也成一个群，则称为的子群。可简记为""。

设是的子群，是中的任意元素，则集合称为子群在中关于的右陪集。类似地，子群在中关于的左陪集可定义为。

设和是两个群，如果到有一个映射，使得对于中任意两个元素都有，则称是群到的一个同态映射，简称为“同态”。如果到有一个双射，使得对于中任意两个元素都有，则称群与 是同构的，记为,称是到的一个同构映射，简称为同构。

给定一个非空集合，记所有的可逆映射的集合为，上的运算为映射的复合“”，即设，则，定义为：,。

其中，构成一个群，它的单位元是恒等映射，而每个映射的逆元便是它的逆映射，此时这个群称为的置换群。

设是群，若，使得，都有（为整数），则称是循环群，其中是这个循环群的生成元，并记为 。

对于非空集合到自身的所有双射组成的集合，将映射的乘法所成的一个群称之为集合的全变换群，记作。进一步地，当为有限集合时，到自身的一个双射叫做的一个置换，设有个元素，设，这时称的全变换群为元对称群，记作。例如，3元多项式：。

二面体群，记为，定义为一个正边形的置换群，其包含有个元素，主要是通过正边形的翻转和旋转得到。具体而言，即，其中为绕过一条边以及其中心的连线的翻转，为绕其中心轴顺时针（或逆时针）旋转角度的旋转变换。

对于群，若对该群中的每一个元素，都有一个与其对应的方阵，且对于群中的任意两个元素及，都有，则方阵即为矩阵群，是为群的矩阵表示，其中矩阵群的阶数称为群的维数。

设集合满足以下性质：

（1）是一个群；

（2）是一个维微分流形；

（3）群的乘法和逆运算都是映射。

则可称集合为一个维李群，其中。

有限群论是在由弗罗贝尼乌斯于19世纪末20世纪初所创立的理论，是群论中最系统、最本质的部分。有限群论的主要研究对象是有限群的性质、结构以及分类。简单地说，一个元素有限的群即被称为有限群。例如，上文中提到的的置换群就是一种常见的有限群。

李群论是群论的一个重要分支，由挪威数学家索菲斯·李开创。李群论主要应用于微分方程领域，索菲斯·李将连续变换群应用到微分方程当中，并对李群在常微分方程的应用做了全面系统的概述，此后索菲斯·李还将群方法应用至偏微分方程。1969年，G. W. 布鲁曼（George W. Bluman）和朱利安·D·科尔（Cole J D.）在对热传导方程的研究当中推广了李群方法，形成了现今的非经典李群方法。李群论是抽象微分流形的最重要代表，它既是代数群，同时也是微分流形。

群论中的群是一个相对抽象的数学概念，因此在实际应用中需要用比较熟悉的数学对象矩阵来实现群论，或是将其表示出来。例如，在拓扑代数领域，一个拓扑群到另一个拓扑群的连续同态映象称为在里的一个表示，如果取为具有复系数的所有次非奇异矩阵所组成的群，则此表示就称为次线性表示。

几何群论出现于20世纪80年代末和90年代初，其主要应用于研究立方体等三维对象，并试图将每一个群都视为几何对象，将几何与代数相关联。例如，将群的对称性与几何理论相结合的凯莱图，数学家利用其来研究某个群在几何层面的性质。此外，上文中提到的二面体群也是几何群论的研究对象之一。

对于几何学中复杂的空间物体，为求解其拓扑结构，计算在某种同构意义下不同拓扑结构或组合结构，这是组合学中的计数问题，基于组合数学和抽象代数的密切关系，数学家将群论引入组合学以解决相关的问题，其中比较重要的是图论里的应用。

在图论当中，群有着以下的作用：设为一个有向图，为一个作用于上的群，通过定义，可拓展至上，我们称群保持图的邻接关系或结构，若。因此群在上的作用便是拓展到的边集上，上所有的保持图的邻接关系的置换构成一个群，它称为图的自同构群，记为。

拓扑代数的研究是以群论、环论和域论等抽象代数结构为基础的。其中，元素组成一个满足分离公理的拓扑空间，并且其乘法及求逆元素的运算是连续的抽象群被称为拓扑群。

晶体学当中的点群和空间群都是群论中的群，而晶体学的点群和空间群都符合群的基本规律。晶体学中的各种对称操作可以用矩阵来描述其坐标变换。晶体结构中可能具有的对称动作群有230种，称为晶体学空间群；与晶体理想外形和宏观物理性质相对应的对称类型有32种，称为晶体学点群；与晶体衍射对称类型对应的有11种，称为劳厄群。

量子力学的发展使得线性变换和群论工具有了大规模应用的可能，科学家也因此发展了关于对称性问题，以及针对群的表示理论的展开研究。在对称性的研究中，科学家可以根据某体系的点群种类及已有的特征表得知该体系拥有什么样的不可约表示，并且可以不经过计算便知道该体系一共有几个单态和几个简并态，这在量子力学中为电子态进行分类的知识相当重要。在此基础上，科学家可再根据实验去定出不同能级之间距离的大小，从而得出体系的能谱。

在化学领域，涉及运用量子力学求解薛定谔方程时，须面对算符、能级、波函数以及矩阵元的计算问题，从群论的角度出发，这些问题都与分子的对称性有关，通过对分子对称性的分析，可以绕过求解薛定谔方程，不经过计算便得到分子和对称性有关的性质，简化问题。

此外，群论是材料学中对分子和材料的微观结构研究必不可少的数学工具，其能够将分子客观存在的对称性和分子的某些物理性质相联系。化学分子具有一定的对称性，伴随着若干对称操作，具有某种对称性的分子具有旋转、反映、象转、反演和旋转反演等对称操作，通过群论能够对其以数学语言的形式表示出来。

在网络设计中，网络对高度对称性有一定要求，而通过群论方法构造的可迁图正好能满足这个要求，这种方法在网络设计中得到广泛的应用。以点可迁的凯莱图（即Caylay图）为例，通过群可构造出循环图、超立方体等凯莱图，基于交错群，还可构造出交错群网络和交错群图等凯莱图。

群论等抽象数学理论是现代密码学的基础，密码学以群为基础设计了群幂作为基本运算方法，此外还有包括平方-乘算法、m-ary算法、滑动窗口法、Montgomery法等也是相关的改进算法，其中Montgomery阶梯算法改进了计算过程，以抵御侧信道攻击。