反对称矩阵定义是：A=-A’（A的转置前加负号），它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各数绝对值相等，符号相反。且主对角线上的元素为均为零。

设A为n维方阵，若有A'=-A，则称矩阵A为反对称矩阵。对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。反对称矩阵具有很多良好的性质，如若A为反对称矩阵，则A'，λA均为反对称矩阵；若A,B均为反对称矩阵，则A±B也为反对称矩阵；设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。

对称矩阵定义是：（A的转置）

对称矩阵的元素.特性斜对称矩阵自身相乘的积是对称矩阵。任意矩阵是斜对称矩阵。若A是斜对称矩阵，x是向量，斜对称矩阵的主对角线元素必是零，所以其迹数为零。行列式若A是的斜对称矩阵，其行列式满足若n是奇数，行列式等于零。这个结果叫雅可比定理。若n是偶数，行列式可以写成部分元素的多项式的平方：。这个多项式叫A的Pfaffian。任意实斜对称矩阵的行列式是非负数。谱理论斜对称矩阵的特征根永远以成对的形式（）出现，因此一个实数斜对称矩阵的非零特征根为纯虚数将会如下，其中λk是实数。实斜对称矩阵是正规矩阵（它们与伴随矩阵可交换），因此满足谱定理的条件，它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数，因此无法 用实矩阵来对角化。然而，通过正交变换，可以把每一个斜对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地，每一个的实斜对称矩阵都可以写成的形式，其中Q是正交矩阵，且：对于实数λk。这个矩阵的非零特征值是。在奇数维的情况中，Σ总是至少有一个行和一个列全是零。

设，若其中元素满足，则称A是对称矩阵；若其元素满足，则称A为反对称矩阵。

若A是反对称矩阵，则，当时，便有，即反对称矩阵主对角线上的元全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。

反对称矩阵性质1

设A,B为反对称矩阵，则仍为反对称矩阵。

证明过程：

设A,B为反对称矩阵，即有

则

至此，根据反对称矩阵的定义可得，为反对称矩阵。

反对称矩阵性质2

设A为反对称矩阵，则仍为反对称矩阵。

证明过程：

设A为反对称矩阵，即有

则有

至此，根据反对称矩阵的定义可得，仍为反对称矩阵。

反对称矩阵性质3

设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则为对称矩阵。

证明过程：

已知A为反对称矩阵，B为对称矩阵，即有

故有：

至此，根据反对称矩阵的定义可得，为对称矩阵。

反对称矩阵注意事项

（1）设A,B为反对称矩阵，AB不一定是反对称矩阵。

（2）设A为反对称矩阵，若A的阶数为奇数，则A的行列式为0；A的阶数为偶数，则根据具体情况计算。

反对称矩阵定理1

奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。

证明过程：

设A为反对称矩阵，即有

设A为反对称矩阵，即有

故有

当n为奇数时，就由，于是。

反对称矩阵定理2

反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。

证明：

（1）设实反对称矩阵A的特征值，相应的特征值向量，其中u，v是实向量。那么由得到

即

分别等置两边的实部和虚部得到

于是

因为（点积），所以上二式相加得到

又因为，所以

从而。类似地可以知道。因此

于是由推出，从而。

（2）由（1）中可得，所以，即

于是

因为，所以。

此外。由以及可知，即u，v正交。