双曲面（Hyperboloid）在几何学中是双曲线绕其主轴之一旋转而生成的曲面；在数学里中则是一种二次曲面，可分为单叶双曲面和双叶双曲面，其方程分别为x2/a2+y2/b2-z2/c2=1和x2/a2+y2/b2-z2/c2=-1，其中a，b，c均大于0。

双曲面的发展历史与解析几何发展密切相关，在解析几何产生之前古希腊建筑数学家已对圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)做了较系统的研究。勒内·笛卡尔(Renatus Cartesius)和皮耶·德·费马(Pierre de Fermat)较早的认识到创建解析几何的必要性，但是笛卡尔等人的研究并未涉及空间解析几何，直到18世纪前半期克雷洛（Felix Klein）和拉盖尔（Ludwig Schläfli）才将空间的点与三数组对应，推导出含三个变量的二次方程可化简为17种标准形式，代表17种不同的曲面，双曲面就是其中之一。19世纪初，尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolas lvanovich Lobachevsky）用罗氏制药平行公理替代欧氏几何的第五公设，创立了双曲几何学。随着解析几何的发展，仿射几何和射影几何成为其现代组成部分，广泛应用于研究几何图形的性质和二次曲面的分类。

双曲面具有较多几何性质，如对称性、双曲面为无界曲面等。此外，双曲面在建筑工程学、实际生活、通信工程学领域均具有较为广泛的应用，如连接器的线簧孔就是根据单叶双曲面形成的原理而设计的。

在几何学中，双曲面是双曲线绕其主轴之一旋转而生成的曲面；在数学里，双曲面是一种二次曲面。

采用直角坐标 ，双曲面可以用公式表达为 、，分别称为单叶双曲面和双叶双曲面，单叶双曲面和双叶双曲面统称为双曲面，该种形式的方程称为双曲面的标准方程。

单叶双曲面的参数方程为，双叶双曲面的参数方程为 。

双曲面的发展历史与解析几何发展密切相关，在解析几何产生之前，虽然它所使用的某些工具和研究对象已经出现，例如中国古代早已用代数方法来解决一些几何问题，古希腊建筑数学家已对圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)做了较系统的研究；但是，代数方法并没有与坐标法紧密结合起来，没有把代数方程中的未知量看做变量，更没有把带有两个变量的代数方程与平面曲线对应起来。

较先认识到创建解析几何这门新的数学学科的必要性和可能性的是勒内·笛卡尔(Renatus Cartesius)和皮耶·德·费马(Pierre de Fermat)。笛卡尔是解析几何的主要创建者，他所发表的以《几何学》为题的论文中，较全面地叙述了解析几何这个学科的思想观点和数学理论，奠定了解析几何的基础。费尔玛对解析几何的创建也有很大的贡献，他提出一个很重要的命题，即“凡含有两个未知数的方程，总能够确定一个轨迹，画出一条直线或曲线”。

但是笛卡尔等人的研究并未涉及空间解析几何，直到18世纪的前半期克雷洛（Felix Klein）和拉盖尔（Ludwig Schläfli）才把空间的点与三数组对应起来，含三个变量的方程表示曲面，每个含三个变量的一次方程表示一个平面，直线可作为两个平面的交线。含有三个变量的一般二次方程可经过坐标轴的平移和旋转化简成17种标准方程，它们表示根本不同的17种类型的曲面：有两种椭圆面(实的和虚的)，两种双曲面(单叶的和双叶的)，两种抛物面(椭圆的和双曲的)，两种二阶锥面(实的和虚的)以及9种柱面。随后，19世纪的数学家们，如高斯和伯恩哈德·黎曼，进一步发展了解析几何的理论和应用。

在19世纪初，罗巴切夫斯基环形山（Nikolas lvanovich Lobachevsky）、波利埃（János Bolyai）、高斯（Gauss）大胆地否定了欧氏几何的第五公设(平行公理)另外设立了一条替代它的公理，他们分别独立地建立了一种新的几何学，称为双曲几何学。由于最先公开发表的是罗巴切夫斯基，所以也称此几何学为罗巴切夫斯基几何学，简称罗氏几何。尼古拉·罗巴切夫斯基发现了第五公设的不可证明性及非欧几里得几何的存在性。他把欧氏几何公理体系中的第五公设换成罗氏平行公理(过直线外一点至少能作两条直线与已知直线平行)建立了他的几何学。

解析几何从产生到现在，经过了漫长的发展道路。现代的解析几何无论是方法还是内容都已发生了很大的变化。方法更加多样，内容更加丰富和广泛，特别是具有重要意义和作用的变换、变换群以及不变量的理论已被引入解析几何。因而，仿射几何、射影几何已成为现代解析几何的组成部分。它们在研究几何图形的仿射、射影性质，在研究圆锥曲线和二次曲面的分类等方面具有广泛的应用。

由于方程中只含变数的平方项，所以单叶双曲面关于坐标原点、坐标轴和坐标平面都对称，依次叫做对称中心、对称轴与对称平面。

将方程变形为，可知曲面在椭圆柱面的外部或者它的腰椭圆上，而内部无图形。

与坐标轴的交点：分别用代入得曲面在轴和轴上的截距分别是；在轴上没有截距。四个交点叫做单叶双曲面的顶点。

与坐标轴的交线：

①与平面的交线是一椭圆，称为腰椭圆。

②与平面的交线 是一双曲线，它的实轴是轴，虚轴是轴，开口沿轴正向。

③与平面的交线 是一双曲线，它的实轴是轴，虚轴是轴，开口沿轴正向。

截口线：用平面截割，得，表示平面上的一族椭圆，因此单叶双曲面可以看成是所有这些椭圆的集合。这族椭圆的焦点坐标为。

若用平面来截割曲面，得 ，当时，截线为双曲线；它的实轴平行于轴，虚轴平行于轴，顶点坐标为；当时，截线为 表示两条相交直线；当时，截线为双曲线，它的实轴平行于轴，虚轴平行于轴，顶点坐标为。

同单叶双曲面一致，双叶双曲面也关于坐标原点、坐标轴和坐标平面都对称。

将方程变形为，可知或。说明双叶双曲面的图形分居于两平面外侧，两平面内部无图形。

与坐标轴的交点：与轴的交点为，与轴，轴都没有交点，把这两点叫做双叶双曲面的顶点。

与坐标平面的交线：

①与平面无交线；

②与平面的交线 是一条双曲线，实轴为轴，开口朝轴正向；

③与平面的交线 是一条双曲线，实轴为轴，开口朝轴正向。

截口线：用平面截割双叶双曲面得方程为 ，当时，截线为一个椭圆，它的四个端点为，；当时，截线为一点或；当时，无截线。

用平面截割曲面得 为平面上的双曲线。用平面截割曲面得 为平面上的双曲线。

如果曲线， 在上具有连续的切线，那么它绕轴旋转一周而成的旋转曲面的侧面积为。

如由双曲线绕轴旋转而成旋转双曲面，其表面积，其中，代入得。

对于任意的复数，规定，分别称为的双曲正弦和双曲余弦，类似地，规定，，，分别称为的双曲正切、双曲余切、双曲正割以及双曲余割。

由方程所表示的曲面称为椭球面。把球面沿轴方向伸缩倍，即得旋转椭球面；再沿轴方向伸缩倍，即得椭球面。

椭球面与双曲面都有唯一的对称中心，因而它们都称为中心二次曲面。中心二次曲面的统一方程可以表示为，当三个平方项的系数均为正数时，方程表示椭球面；当系数两正一负时，表示单叶双曲面；当系数的符号两负一正时，它表示双叶双曲面；当系数的符号全为负数时，它表示虚椭球面。

空间中与某个定点的距离等于定长的点的轨迹为一个球面，定点称为球心，定长称为球的半径。设定点为，定长为，是球面上任意一点，则，即，反之，若的坐标满足该方程，则总有，所以此方程以为球心，以为半径的球面方程。

单叶双曲面上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，使它们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使它们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物。许多化工厂和发电厂的巨大冷却水塔常用的外形之一是旋转单叶双曲面，它的优点是对流快，散热效能好，塔筒采用双曲线外形不仅可以减少塔壳表面积节约材料，而且具有抗强风的优良力学性能。

双曲面在实际生活中具有较为广泛的应用，例如单叶双曲面各元素之间的几何关系与横切机各构件之间的运动关系相类似。为了寻求顺利剪切移动铝箔的正确途径，则可以把单叶双曲面的几何特性应用于移动铝箔的横切机构之中，并确定了转刀刀刃的型线，就可以得出一种移动铝箔横切的合理方法。

在通信产业中，连接器的线簧孔也是根据单叶双曲面形成的原理而设计的。它一般由丝(线簧)、内套、前外套、后外套(有时为整体外套)组成。线簧孔是使多根(一般至少为5根)独立的弹性金属丝在内套中与内套的轴向成一定的夹角，并弯向内套两端的外壁后，通过内套、丝与外套之间的过盈配合，用外套将丝压紧固定在内套的两端上，内套中的弹性金属丝即是构成单叶回转双曲面的母线，因此将此插孔称为单叶回转双曲面插孔，简称线簧孔。