在几何中，以一般化的观点来说，标量是零维的几何量，向量是一维的有向几何量，依此类推，我们可以有二维的有向几何量。几何代数中的外代数（exterior algebra）采用了这个一般化的观点定义了二重向量（bivector）。一个二重向量亦即二维的有向几何量，它是一个有向面积。

二重向量是使用外积（exterior product）来产生的：令a与b为向量，它们的外积即为一个二重向量，代表由a与b围成的平行四边形面积，其方向为a到b的时针方向。所以，外积是反对称的，的方向恰与相反。另外，是一个“零二重向量”。

有时候，三维的二重向量被拿来当作一种伪向量。

德国数学家赫尔曼·格拉斯曼于1844年的《线性外代数》论文中，将二重向量以二向量外积的方式介绍出来。同时期，爱尔兰数学家哈密顿于1843年发表了四元数。1888年，英国数学家克利福德结合二者并发表了克利福德代数，二重向量才被完整的了解。

赫尔曼·京特·格拉斯曼（Hermann Günther Graßmann，1809年4月15日－1877年9月26日），出生于什切青，是一个德国博学者，在他生活的时代以语言学家身份闻名，以数学家身份而著称。他也是一位物理学家，新人道主义者，博学的学者，和出版家。

克利福德代数（Clifford algebra），又称几何代数（Geometric algebra），是综合了内积和外积两种运算，在几何和物理中在很多应用的一门数学学科。克利福德代数是复数、四元数和外代数的推广。

外代数（英语：Exterior algebra）也称为赫尔曼·格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以纪念赫尔曼·格拉斯曼。

数学上，给定向量空间V的外代数，是特定有单位的结合代数，其包含了V为其中一个子空间。它记为 Λ(V) 或 Λ(V)而它的乘法，称为楔积或外积，记为∧。楔积是结合的和双线性的；其基本性质是它在V上交错的，也就是：

，对于所有向量，这表示，对于所有向量，以及，当 线性相关时。

注意这三个性质只对V中向量成立，不是对代数Λ(V)中所有向量成立。外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。

形式为的元素，其中在V中，称为k-向量。所有k-向量生成的Λ(V)的子空间称为V的k-阶外幂，记为Λ(V)。外代数可以写作每个k阶幂的直和：

该外积有一个重要性质，就是k-向量和l-向量的积是一个k+l-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由k给出。这些k-向量有几何上的解释：2-向量代表以u和v为边的带方向的平行四边形，而3-向量代表带方向的平行六面体，其边为u,v, 和w。

外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由赫尔曼·格拉斯曼提出。

伪矢量（英语：Pseudovector），指的是在瑕旋转下，除了随之反射外，还会再上下翻转的矢量（因为右手定则的关系）。矢量（极矢量）和伪矢量（轴矢量）都是广义上的矢量，在一般旋转下的特性相同。但更严格地说，矢量还要求在瑕旋转下，除了空间反衍外，不会再改变方向。在三维空间中，伪矢量p可以表示为二个极矢量a和b的外积：以此方式计算的p是伪矢量，其中一个例子是有向平面的法矢量。有向平面可以用二个不平行的矢量a和b来定义。矢量垂直此平面（和平面垂直的矢量有二个，其方向恰好相反，可以用右手定则决定是哪一个），为一伪矢量。许多物理量是伪矢量，例如磁感应强度、角速度等。在数学上，伪矢量是三维的二重矢量，可以由此推得伪矢量的转换规则。n维几何代数的伪矢量是维代数的元素，可以表示为ΛR。可以由伪矢量引申出伪标量及伪张量，在瑕旋转下会比标量及张量多出一个负号。