向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。

向量空间亦称线性空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若：

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为标量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素，称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件：

1) ，对任意.

2) ，对任意.

3) 存在一个元素，对一切有，元素0称为V的零元.

4) 对任一，都存在使，β称为α的负元素，记为.

5) 对P中单位元1，有.

6) 对任意有.

7) 对任意有.

8) 对任意有，

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域。当P是实数域时，V称为实线性空间。当P是复数域时，V称为复线性空间。例如，若V为三维几何空间中全体向量(有向线段)构成的集合，P为实数域R，则V关于向量加法(即平行四边形法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间。又如，若V为数域P上全体矩阵组成的集合Mmn(P)，V的加法与标量乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法，则Mmn(P)是数域P上的线性空间.V中向量就是矩阵。再如，域P上所有n元向量构成的集合P对于加法：与纯量乘法：构成域P上的线性空间，称为域P上n元向量空间。

线性空间是在考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中的向量，代数中的n元向量、矩阵、多项式，数学分析中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念，近代数学中不少的研究对象，如赋范线性空间、模等都与线性空间有着密切的关系。它的理论与方法已经渗透到自然科学、工程技术的许多领域。哈密顿(Hamilton，W.R.)首先引进向量一词，并开创了向量理论和向量计算。赫尔曼·格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多维三维空间的系统理论。1844—1847年，他与奥古斯丁-路易·柯西(Cauchy，A.-L.)分别提出了脱离一切空间直观的、成为一个纯粹数学概念的、抽象的n维空间。特普利茨(Toeplitz，O.)将线性代数的主要定理推广到任意域上的一般的线性空间中。

设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算：

向量加法：+ : 记作

标量乘法：· : 记作 及

符合下列公理 ( 及 )：

向量加法结合律：；

向量加法交换律：；

向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，；

向量加法的逆元素：，使得 ；

标量乘法分配于向量加法上：；

标量乘法分配于域加法上:；

标量乘法一致于标量的域乘法:；

标量乘法有单位元: , 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。

有些教科书还强调以下两个公理：

V 闭合在向量加法下：

V 闭合在标量乘法下：

更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间；若F是复数域C，V称为复向量空间；若F是有限域，V称为有限域向量空间；对一般域F，V称为F-向量空间。

首5个公理是说明向量V在向量加法中是个尼尔斯·阿贝尔群，余下的5个公理应用于标量乘法。

以下都是一些很容易从向量空间公理推展出来的特性：

零向量（公理3）是唯一的

，这里 0 是F的加法单位元

，则可以推出要么 ，要么

v的加法逆元（公理4）是唯一的（写成−v），这两个写法及 都是标准的

如果V是一个线性空间，如果存在不全为零的系数，使得，那么其中有限多个向量称为线性相关的.

反之，称这组向量为线性无关的。更一般的，如果有无穷多个向量，我们称这无穷多个向量是线性无关的，如果其中任意有限多个都是线性无关的。

设W为向量空间 V 的一个非空子集，若W在 V 的加法及标量乘法下是封闭的，就称W为 V 的线性子空间。

给出一个向量集合 B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作 span(B)。另外可以规定空集的扩张为{0}。

给出一个向量集合 B，若它的扩张就是向量空间 V，则称 B 为 V 的生成集合。

给出一个向量集合 B，若B是线性无关的，且B能够生成V，就称B为V的一个基。若 ，唯一的基是空集。对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集，也是极大线性无关组。

如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如，实数向量空间：中， Rn的维度就是 n。

空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中向量的线性组合。而且，将基中向量进行排列，表示成有序基，每个向量便可以坐标系统来表示。

若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是一个域F上的向量空间。当 V 及 W 被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。

同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构；域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。

一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即尼尔斯·阿贝尔范畴。

研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：

一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。

一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。

一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为拓扑向量空间。

一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。