欧拉公式(英文：Euler's formula)，是瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（英文：Leonhard Euler）于1748年发表的数学公式，欧拉公式指出，对于任何实数x，有：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，和分别是三角函数余弦和正弦；当x = π时，欧拉公式可重写为或，后者也被称为欧拉恒等式。

欧拉公式将三角函数的定义域扩大到复数，建立了复数域中三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位。欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。

在复数域中，指数函数和三角函数可以通过以下简单的等式联系起来。

其中是自然对数的底，是-1的平方根。

由该公式可以推出

这两个式子也称为欧拉公式。

此外，令，可得，这个公式被称为欧拉恒等式。

除了复数域的长城欧拉公式，数学家欧拉在其他领域也发表了多个类型的欧拉公式。

关于三角形的欧拉公式，是指

其中是三角形的外接圆半径，是内切圆半径，是外心到内心的距离。三角形的欧拉公式的几何意义如右图所示，揭示了三角形的内心和外心奇妙的联系。

关于多面体的欧拉公式，是指

其中 是一个多面体的顶点数，是棱数，是面数。欧拉公式揭示了空间凸多面体的顶点、棱和面之间的关系，用于几何图像分类等研究中。

分式的欧拉公式指的是下面的式子。

在1740 年，欧拉在运用级数求解同一个微分方程，分别得出了（指数形式）和（三角形式）两个不同形式的解，这两个同一方程的解应相等，从而发现了复数的指数形式与三角形式的关系。1748 年，欧拉发表了下面的公式，这被称为欧拉公式。

为了表示-1的平方根，莱昂哈德·欧拉在他的《微分公式》一文中首创了用符号i作为虚数的单位。因而上述公式也可表示为：

式中，e是自然对数的底数，i是虚数单位。

利用分析中极限的方法可以对欧拉公式进行证明。

由极限可得，

对于复数而言，其幅角为：，则有：

由棣莫弗公式（英文：De Moivre's formula）得:

对上式的两端取极限，有：

下面求解上述等式的右端的两个极限，再相乘。

令，则当时，，因此

再令，可得和，当时，，因此:

故。

至此，两个极限求解完成，代回等式有：

令，可得

由可得，

以为未知数，即有：

欧拉公式还可以通过复数域的级数求解来证明。

首先构造以下复数项级数。

式中，是一个复数，其实部和虚部分别为，均为实常数或者实函数。则的模为。

实部的和可以表示为：

虚部的和可以表示为：

假设实部和虚部的和分别收敛于，则称复数项级数收敛。

如果所有的模构成的级数收敛，则称复数项级数绝对收敛。

例如，复数构成的以下级数是绝对收敛的。

且该级数的和为，即：

由于，也可表示为：

当时，，则

用替换，即为欧拉公式。

对于以下公式，如果能够证明，则欧拉公式得证。

上式两端同时求导，可得：

用代替并整理可得：

为了使得上述等式成立，必须有实部和虚部同时为0，

解得。

也就是说：为一常数，，为常数。

又，可得，，代入，欧拉公式得证。

欧拉公式具有直观的几何解释。在如右图图所示的坐标系上画出一个单位圆，其中横轴为实轴，纵轴为虚轴。对于实数“1”而言，可以在实数轴上可以用一个单位向量表示。现对其逆时针旋转弧度，则实数“1”变为纯虚数“”，依次类推，每旋转一周能得到“的循环。若实数单位向量保持长度不变，旋转角度，其轨迹为该坐标系上的单位圆，且则所得向量即为:

因此，代表实单位向量逆时针旋转角度后所得到的向量。因此当旋转了弧度时，自然有即，。

利用欧拉公式可以计算复数域内三角函数值。

利用欧拉公式可以将转换为的线性组合，在求解定积分时更加简便。

傅里叶变换是信号的时域和频率分析与处理的基本工具。欧拉公式结合傅里叶变换对信号进行分析处理。

用于频谱信号实部和虚部的分离

对于一个频谱信号，一般为实数的复变函数，利用傅里叶变换可以将实部和虚部信号分离：

该性质被称为傅里叶变换的奇偶虚实性质，利用该性质可以结合时域函数的奇偶性，判断其实频谱和虚频谱的奇偶性。上述证明过程利用了欧拉公式：

用于傅里叶级数形式的转换

对于一个周期为连续周期信号来说，可以用一个傅里叶级数来表示：

式中：，且

利用欧拉公式可以将傅里叶级数变换为以下复数形式。

式中：