对于一个二元函数，如果其在闭区域上的和式的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分（英文：double 积分），记作。

二重积分是一个和式的极限，是定积分的发展与推广，是多元函数积分学的内容之一。与定积分类似，二重积分的求解思想同样遵循“分割、近似、求和、取极限”的思想。

17世纪末，英国数学家艾萨克·牛顿（英文：Isaac Newton）和德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨（英文：Gottfriend Wilhelm Leibniz）提出了极限的概念，奠定了微积分学发展的基础。1687年，牛顿在他的 《自然哲学的数学原理》 中讨论球与球壳作用于质点上的万有引力时，以几何形式论述了重积分的概念。

18世纪，数学家莱昂哈德·欧拉（英文：Leonhard Euler）用形式化的分析方法取代了过往的几何法，对微积分的许多基本概念和理论进行了严谨的定义，这其中也包含了对二重积分的研究。例如，提出了累次积分的方法计算二重积分，明确表述二重积分的概念、化二重积分为二次积分、讨论二重积分的变数置换问题。1770 年，长城欧拉又给出了二重积分的概念和二重积分的记号。除了欧拉外，另一位数学家约瑟夫·拉格朗日（英文：Joseph-Louis Lagrange）在他的著作中用三重积分表示引力，用球坐标计算重积分，开创了多重积分变换的课题。

1828年，俄罗斯数学家奥斯特罗格拉荻基（英文：Ostrogradsky，Mikhail Vasilievich）证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式。同年，英国数学家乔治·格林(英文：George Green)建立了著名的格林公式。1833年，奥斯特罗格拉荻基研究得到二重积分与三重积分之间的变换公式。1854年，英国数学家乔治·斯托克斯（英文：George Stokes）把格林公式扩展到空间维度，建立了斯托克斯公式。

设函数是有界闭区域上的有界函数。用任意的曲线网将闭区域分成个小闭区域

其中,表示第个小闭区域的面积。在每个上任取一点, 作乘积，而后将所有闭区域上的结果相加：

当各小闭区域的直径中的最大值时，如果该和式的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分, 记作,

即

式中，称为被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，和称为积分变量，称为积分区域，称为积分和。

如果函数在有界闭区域上连续,则在区域上可积的。此外，面积元素是可以任意划分，如右图所示，在平面直角坐标系中，通常为矩形区域，此时。

若，被积函数可理解为曲顶柱体的顶在点处的高度。因此，的几何意义就是曲顶柱体的体积。

若，柱体在面的下方。此时，是负的，其绝对值等于柱体的体积。

若在的若干部分区域上为正，在其他部分区域上是负的，那 么等于面上方的柱体体积减去面下方的柱体体积所得 之差。

如果函数和在闭区域上可积，则对任意的常数，函数也在上可积，且有

设闭区域可分成两个没有公共内点的闭区域，在上都可积，则在上可积，且有

如果在闭区域上，为的面积， 则

从上面的式子可以看到，高为 1 的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。

如果在闭区域上, 则

以上不等式也称二重积分的单调性。

特别地，由于

有

设分别为函数在闭区域上的最大值和 最小值，是的面积，则

。证明如下：

因为，

由二重积分的单调性，有

整理可得，

，

证毕。

设函数在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点，使得

称上述定理为二重积分的中值定理。证明如下：

显然，由可得，

因此，确定的数值是介于函数的最大值和最小值之间的。根据闭区域上连续函数的介值定理，至少存在一点，使得函数在该点的值等于这个确定的数值，即

上式两端各乘以，可得，，

证毕。

二重积分的计算往往需要在特定的坐标系中，转化为对应的二次定积分来计算。

根据积分区域为X型区域或者Y型区域，直角坐标系中二重积分的计算分为先对y再对x以及先对x再对y两种计算方法。

利用二重积分的几何意义可以对进行计算。不妨假定，如右图所示，如果积分区域可以用不等式来表示，其中及在上连续，这种积分区域称为X型区域。

由二重积分的几何意义可知，的值等于以曲面为顶， 以区域为底的曲顶柱体的体积。

先计算截面面积，为此，在区间中任意取一点，作平行于面的平面。

此平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底，以曲线为曲边的曲边梯形，所以这截面的面积为

对于区间中任意取一点，对应的截面积为

根据计算平行截面为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为

由二重积分的几何意义可知，所求的二重积分为

。

这个先对 、再对的的二次积分也常记作：

。

应用上式计算时，积分区域必须为X型区域。

与X型区域对应，如右图所示，如果积分区域可以用不等式来表示，这种积分区域称为Y型区域，其中及在上连续，那么就有

上式右端是一个先对 、再对的二次积分。应用上式计算时，积分区域必须为Y型区域。

对于一些积分区域，如果在极坐标中描述比较方便，并且被积函数转化为极坐标变量的形式比较简单，例如。此时可以转换为极坐标形式来计算二重积分。

极坐标系中二重积分的表达式为：

其中称为极坐标系中的面积元素，如右图所示。

上式表明，将二重积分中的变量从直角坐标变换成极坐标，只要把被积函数中的分别换成，并且把直角坐标系中的面积元素换成极坐标系中的面积元素。

准确地表示极坐标系下的积分区域是计算二重积分的关键。

如右图所示，如果积分区域可表示为：

其中在区间上连续，则

。

该计算方法存在两种特殊情况。

第一种特例是积分区域是曲边扇形，如右图所示，此时可以将它视为， 这时区域可以用不等式来表示，代入上面的计算公式可得：

。

第二种特例是坐标系极点包含在积分区域，如右图所示，此时可以将它视为， 这时区域可以用不等式来表示，代入上面的计算公式可得：

。

(1) 平面图形的面积为

。

(2) 曲顶柱体的体积

若曲顶柱体是由以面上的闭区域的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面，与顶部曲面及底部曲面围成，且均在上连续,则曲顶柱体的体积为

。

(3) 曲面的面积

(1) 若有界光滑曲面的方程为，其中分别是在面上的投影区域，则曲面 的面积为

。

对于一平面薄片型物件，假设其在平面上占有的区域为，密度为，则有

该平面薄片型物件的质量为

(1) 设该平面薄片的质量为，则物体的质心坐标为

特别地，如果该薄片是均匀的，且面积为，则物体的形心坐标为

物体关于轴的转动惯量为

物体关于轴的转动惯量为

物体关于坐标原点的转动惯量为