微积分学（Calculus）是高等数学中以函数为研究对象，并采用极限作为分析方法来研究函数的导数、积分以及相关理论和应用的数学分支。微积分学由微分学（differential calculus）和积分学（积分 calculus）组成。这门学科的基本定理即为艾萨克·牛顿（Newton）-戈特弗里德·莱布尼茨（Leibniz）公式，

它将定积分的计算转化为求被积函数的原函数，为求解曲线的长度、曲线围成的面积以及曲面围成的体积等问题提供了一个简单有效的方法。

微积分思想的起源可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，如古希腊“穷竭法”和中国“割圆术”。17世纪，随着科学和生产力的进一步发展，艾萨克·牛顿和莱布尼茨分别独立创建了微分和积分，然而牛顿和莱布尼茨都没能严格定义自己建立的微积分理论，由此引发了数学史上的第二次危机。后来奥古斯丁-路易·柯西严格定义了无穷小量、函数的极限和连续性等概念，并在此基础上，重新阐述了微积分理论，从而消除了无穷小量引起的混乱，第二次数学危机得到解决。经过数学家们的不懈努力，微积分最终发展成为一门逻辑严密完善的学科。

微积分学包括极限理论、导数理论、积分理论等，以微积分为基础的数学分支包括微分方程、复变函数、拓扑学、泛函分析等 。随着数学学科的发展，微积分的诸多理论、原理和公式等已经被广泛地应用到了经济学、管理学、天文学、理学、工学、医学等领域，为各个领域和学科的发展提供了科学的分析方法。

极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的，例如，中国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—-割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。

设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A1；再作内接正十二边形，其面积记为A2；再作内接正二十四边形，其面积记为A3；如此下去，每次边数加倍，一般地，把内接正边形的面积记为An（且）。这样，就得到一系列内接正多边形的面积A1，A2，A3，……，An，……，它们构成一列有次序的数。当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以An作为圆面积的近似值也越精确。但是无论n取得如何大，只要n取定了，An终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想n无限增大（记为，读作n趋于无穷大），记内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时An也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A1，A2，A3，……，An，……，当n趋向于无穷时的极限。

在圆面积问题中可以看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法。当变量按照某种确定的方式进行变化时，其研究对象的最终变化会呈现出一 个固定的趋势或固定的数值 ，这就被称为极限思想。

在数学中，极限的定义一般分为数列极限（如上所述）的定义和函数极限的定义，事实上数列可以看作是定义域为自然数集的函数，因此此处只列函数极限的定义。

函数极限的一般概念为在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做在这一变化过程中函数的极限。这个极限是与自变量的变化过程密切相关的，由于自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同的形式。主要研究的两种极限形式分别是自变量趋于有限值时函数的极限和自变量趋于无穷时函数的极限，定义分别如下：

定义：

自变量趋于有限值时函数的极限： 设函数f(x)在点的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不等式，那么常数A就叫做函数f（x）当时的极限，记作或（当）。

自变量趋于无穷大时函数的极限： 设函数f（x）当大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式时，对应的函数值f（x）都满足不等式，那么常数A就叫做函数f（x）当时的极限，记作。

微分符号：dx，dy等都由莱布尼茨首先使用。其中“ d ”源自拉丁语中“差”（Differentia）的第一个字母。积分符号“”也是由莱布尼茨所创立，它是拉丁语“总和”（Summa）的第一个字母s的伸长（和有相同的意义），“”为曲线积分（闭合路径）。

微分学的核心概念是导数和微分。研究内容涉及导数和微分的性质、计算方法以及它们在不同学科领域中的应用，如物理学、经济学、工程学等。通过微分学的学习，人们可以深入了解函数的变化规律，探索其潜在的特性，并为实际问题提供准确的数学模型和解决方案。

导数是微分学的核心概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。它包含了代数意义和几何意义两个方面。

导数的代数定义是指给定函数f(x)，如果存在极限，则称这个极限为函数(x)导数，记作f'(x)。

的几何意义表示曲线 过点（ ，）切线的斜率.下面从图形上来理解：

设，M 点的坐标为（ ，），则 N点的坐标为 （ ，），割线 MN 的倾角为 ，切线 MT 的倾角为 ，则割线 MN 的斜率，NP/MP=。，当 时，点 N 沿曲线 C 趋于 M，由切线的定义知 MN 趋于 MT，从而 ，有 ，即切线的斜率 K====。

微分也是微分学的核心概念之一，它包含了代数意义和几何意义两个方面。

微分的代数定义是指给定函数f(x)及其导数f'(x)，微分d f(x)表示函数f(x)在x处的变化量，即微小增量。

微分的几何定义将其解释为函数曲线上某点切线与函数曲线之间的距离，而微分的物理定义与位移、力等概念有关，它描述了物理量随位置变化的快慢。

方程是指那些含有未知量的等式，它表达了未知量所必须满足的某种条件。方程的类型繁多，其分类的主要依据就是未知量的类型和对未知量所施加的数学运算。如果在一方程中的未知量是数，这样的方程就是代数方程或超越方程。如果在一个方程中的未知量是函数，这样的方程就称为函数方程。

而一般来说，凡是表示未知函数、未知函数的偏导数与自变量之间的关系的方程就叫做是微分方程，微分方程中所出现的最高阶导数的阶数，就叫做微分方程的阶。微分方程又可以分为常微分方程和偏微分方程。常微分方程是指未知函数只和一个自变量有关，偏微分方程是指未知函数和两个及以上的自变量函数有关并且在方程中出现偏导数。n阶隐式方程的一般形式为，n阶显式方程的一般形式为。

微分方程从生产实践与科学技术中产生，有着深刻的实际背景，它是现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。在人们探求宏观世界运动规律的过程中，只依赖实验观测认识清楚运动规律是非常困难的，因为人们基本无法做到观察到运动的全过程。然而，运动物体（变量）与它的瞬时变化率（导数）之间，通常在运动过程中按照某种已知定律存在着联系，捕捉到这种联系对人们而言是容易的，而这种联系，用数学语言表述结果往往就能形成一个微分方程。一旦求出这个方程的解，人们也就能观测到运动过程，得到想要的结果。

微积分理论包含许多重要的定理，其中牛顿-莱布尼茨公式是最核心的定理，也被称为微积分基本定理。定理如下：如果函数f（x）在闭区间【a，b】上连续，且F（x）是f（x）在【a，b】上的一个原函数，则有

牛顿莱布尼茨公式是联系导数与积分的桥梁，它证明了微分与积分是可逆运算，揭示了定积分与被积函数的原函数之间的联系，将求函数定积分计算简化为求函数原函数计算，同时为微积分的应用进行了推广，给求解曲线的长度、曲线围成的面积以及曲面围成的体积等问题提供了一个简单有效的方法。微积分基本定理的确立和完善对微积分学的发展有重大意义。

积分在英语中用“integration”表示。Integrate具有“整合、整理”的意思，而积分的本质就是将细分后的单位累积（相加）起来。积分与导数互为逆运算，是在已知导函数的情况下，求原函数的运算。积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。

若函数f在上连续，且存在原函数F，即，则f在上可积，且，其中C是一个常量，求原函数的过程就是不定积分。函数 在区间 I 上的原函数全体称为 在区间 I 上的不定积分，记作 。其中， 为积分号，为被积函数，为被积表达式，x 为积分变量。求不定积分与求导或求导数互为逆运算，即。在求积分问题时，简单的不定积分可以直接利用法则和公式，稍微复杂的，可以先对被积函数做恒等变形，变形成可以利用积分的法则和公式的形式，然后按基本积分公式求出结果。

表示 的积分曲线族，即与平行的所有曲线。

定积分概念的起源于物理学中求变力做功和计算平面上曲边形的面积等问题，采用“有限代替无限”的基本思想可以有效解决这些问题。设是定义在有限闭区间[a,b]上的有界函数，对[a,b]的任意分割，将[a,b]分成有限个小部分 ，用T表示此分法，令，在第k个小区间上任取一点，当时，若积分和极限存在，则称在[a,b]上是可积的，并把此极限值称为在[a,b]上的定积分，记作，即。其中，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限。

表示由 与直线 x=a，x＝b 及 x轴所围成面积的代数和。

微积分从萌芽时期至今已有两千多年的历史，分为四个阶段：萌芽阶段、酝酿阶段、创立阶段和发展阶段。在许多数学家的努力下，伴随着许多相关理论和分支学科的建立，经典的微积分基本定理逐渐确定，艾萨克·牛顿——莱布尼兹公式。

2000多年前数学家就开始对微积分思想进行探索，早在古希腊时期,欧多克索斯(Eudoxus,约公元前408一约前 355)就提出了极限理论的先驱——穷竭法。中国的庄子（约公元前 369一前286）《庄子·天下篇》中也提到过“一尺之，日取其半，万事不竭”。在魏晋时期，刘徽提出了“割圆术”的方法，其中蕴涵着分割、求和、极限等思想。真正成为微积分萌芽的是阿基米德用“穷竭法”求出抛物线弓形的面积。但这一阶段由于数学家未使用极限和无穷小量，导致“极限”概念还没有真正出现，因此在这一阶段，数学家解决几何问题都是进行“有限”形式的穷竭法。

从萌芽阶段到酝酿阶段经历了漫长的中世纪时期，这段时期包括三个主要的阶段：（1）首先古希腊的文化遗产最终由领土逐渐缩小的拜占庭帝国保存下来；（2）到公元 7、8 世纪，在阿拉伯帝国继承了希腊罗马的古典名著后确定了代数、三角学以及数学的符号化，建立了“阿拉伯数学”，并重新传到了西欧；（3）欧洲数学从12世纪到13世纪开始出现转机，对无限的讨论以及对速度的匀速变化率和非匀速变化率的研究已成为数学家们注意的中心。这些时期数学知识经过总结和发展为文艺复兴时期微积分的酝酿以及后来微积分的正式创立提供了学术基础。

微积分思想的起源最早可以追溯到我国战国时期，《庄子·天下篇》中曾提到过“一尺之锤，日取其半，万事不竭”；魏晋时期刘徽在求圆周率时提出了“割圆术”的方法，其中蕴含着分割、求和、极限等四项。还有古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，被认为是微积分的第一步；阿基米德的“平衡法”，运用微元的思想计算面积和体积等。这些都是微积分思想萌芽的最早体现，为后世微积分的诞生打下了基础。

从 15- 16 世纪欧洲文艺复兴时代起，培根、韦达、皮耶·德·费玛、勒内·笛卡尔、约翰尼斯·开普勒等人总结和完善了前人的思想，深入研究了求切线、求面积和体积这两类基本问题，为解决这些问题，开普勒(Johannes Kepler)发展了阿基米德求面积和体积的方法，在他的《测量酒桶体积的新科学》一书中提出“任何给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的，用某种方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积”的方法。并且开普勒引入了无限的概念，提出了不成熟的无穷小量和连续性的思想。埃万杰利斯塔·托里拆利(Torricelli)重新用约翰尼斯·开普勒的同维无穷小去代替卡瓦列利的不可分量，并提出了无穷小的方法，但他们都没有意识到“求切线”和“求面积”这两者之间存在着互逆关系。到 17 世纪中叶，数学家们普遍采用利用分割求和及无穷小的性质求积的方法来解决求曲线的长度、曲线围成的面积和体积、物体的重心等问题。其中法国数学家帕斯卡在证明体积公式时，主要借助于略去无穷序列之和的高次项的方法，这种思想对牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨有很大的影响。

16 世纪下半叶后随着近代力学的产生和发展，微分学的概念和法则逐渐被建立和发展。在17 世纪上半叶，为解决力学和天文等方面的问题，如求变化率和切线、函数的极值、物体在任意时刻的速度和加速度等，勒内·笛卡尔和皮耶·德·费玛引入解析几何，将几何问题归结为代数问题，使微分学有了极大的发展。费马在 1637 年发表的《求最大值和最小值的方法》中记述了一个借助微小增量求曲线切线的方法，为导数方法做了第一个真正值得注意的先驱工作。笛卡儿在1637 年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》，从此改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，他还提出了坐标系和曲线方程的思想，通过把几何曲线与代数方程相结合来将“数”与“形”统一了起来。解析几何的出现，为微积分的创立奠定了基础。在微积分贡献方面，除了创立解析几何外，勒内·笛卡尔还使用“圆法”求出了曲线在任意点的切线方程，其成为了牛顿研究微积分的起点。此外，皮耶·德·费玛在写给梅森(M.Mersenne)的一封手稿上记载了求函数的极大值和极小值的方法，该方法的本质是用代数的方法找到导数为 0 的点。虽然费马对于他的方法的逻辑基础从来也未作过清楚和全面的解释，不具有普遍性，但他发现了求切线和求极值有相同的数学结构，这成为求导运算的雏形。对微分的发展有深远的影响。

17世纪以来，随着科学和生产力的进一步发展，以下四种类型的问题亟需解决：求变速运动中分即时速度；求曲线的切线；求函数的最值；求曲线长度、曲边梯形面积等。这些问题的提出是促使微积分产生的重要因素，艾萨克·牛顿对此做出了巨大贡献。牛顿在其三大著作《论流数》《无穷多项方程的分析》《流数法和无穷级数》中，将求切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到了代数形式，第一次以明确形式给出了微积分基本定理，并将其应用到许多动力学和运动学问题中，在经典物理学领域做出了卓越的贡献。同时，德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨在前人理论的基础上也独立创建了微积分，并且他所创设的微积分符号至今为我们使用。然而牛顿和莱布尼茨都没能严格定义自己建立的微积分理论，尤其是对无穷小量的阐述存在矛盾，由此引发了数学史上的第二次危机。后来柯西严格定义了无穷小量、函数的极限和连续性等概念，并在此基础上，重新阐述了微积分理论，从而消除了无穷小量引起的混乱，第二次数学危机得到解决。经过数学家们的不懈努力，微积分最终发展成为一门逻辑严密完善的学科。

在微积分的酝酿阶段前期，微分学和积分学都得到了进一步发展，但两者是作为独立的数学问题分别加以研究的。在后期，由于布莱斯·帕斯卡(Pascal Blaise)不再把几何图形看作同维无穷小元素所组成，而是看作由维数较低的无穷小元素所组成，并把这些无穷小元素称为“不可分量”，将无穷小概念引入微分学，对微积分学的发展起到重要作用。他还借助于略去高次项（即略去高阶无穷小），认为很小的弧线和切线可以相互代替，并进一步作出切线，然而布莱斯·帕斯卡没有进一步进行代数处理并致力于切线的求法。英国的沃利斯(J.Wallis)基于解析几何和卡瓦列里的“不可分量原理”，将微积分问题彻底转化为代数问题而完全脱离几何表示，并第一个提出无穷大的概念，给出了的无穷乘积的表示。真正将微分和积分联系起来的是英国的伊萨克·巴罗(Isaac Barrow)，他采用几何方法，在他的《几何讲义》第十讲的命题十一和第十一讲的命题十九把“求切线”和“求积”作为互逆问题联系起来。同时，他将“微分三角形”和皮耶·德·费玛的方法结合起来，发现了函数增量和自变量增量 之比对于切线的重大意义。现代数学家史家波耶（Boyer）认为，在所有微积分的先导工作中，费马和巴罗最接近于分析学。

在酝酿阶段，数学家对微分和积分都做了大量论证工作。17 世纪以来，随着科学和生产力的进一步发展，以下四种类型的问题亟需解决：求变速运动中的即时速度；求曲线的切线；求函数的最值；求曲线长度、曲边梯形面积等。这些问题的提出是促使微积分产生的重要因素。到 1670 年后，由于牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨发现微积分相关理论具有内容完整、前后一致的特点并且被应用到多个方面，于是把微积分作为一种具有普遍性的演算方法来总结和发展，最终他们分别独立地完成了建立概念、提炼出具有普遍意义的微积分方法、把概念和方法的几何形式改变为解析式等三个重要工作。艾萨克·牛顿在其三大著作《论流数》《无穷多项方程的分析》《流数法和无穷级数》中，将求切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到了代数形式，第一次以明确形式给出了微积分基本定理，并将其应用到许多动力学和运动学问题中。同时，德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨从几何学上考察切线问题而得出微分法，在前人理论的基础上也独立创建了微积分理论，并且他所创设的微积分符号至今为我们使用。牛顿的积分研究的是面积的变化率问题，本质是原函数的概念；而莱布尼兹的积分依赖于横坐标上无限小区间的纵坐标（或无限小矩形）之和。然而艾萨克·牛顿和莱布尼兹都没能给出他们自己建立的微积分理论的严格定义，尤其是对无穷小量的阐述存在矛盾，由此引发了数学史上的第二次危机。后来柯西对无穷小量、函数的极限和连续性等概念给出了严格的定义，并在此基础上，重新阐述了微积分理论，从而消除了无穷小量引起的混乱。至此，第二次数学危机得到解决。经过数学家们的不断尝试和努力，微积分最终发展成为一门完善的学科 。

一方面，牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨提出了微积分的基本概念：微分、导数和积分，并且建立了微分和积分的互逆关系；但另一方面，他们的概念及推论都存在着问题，有些概念十分模糊（主要是对“无穷小量”的解释）。正是“无穷小量”概念受到当时许多数学家的批评，尤其是英国主教乔治.贝克莱（George Berkeley），他猛烈抨击艾萨克·牛顿的理论，并且提出了“贝克莱悖论”，这引发了长期关于微积分逻辑基础的探讨，被数学史上称为“第二次数学危机”。当然,也有很多人企图弥补这一缺陷。科林·麦克劳林( Maclaurin,1698-1746)试图从瞬时速度的理解上加以解释，但成效不大。泰勒(Taylor,1685-1731)曾用差分去解释流数，却被说成“把车子放到了马的前面”。让·达朗贝尔(d'Alembert,1717-1783)使用的方法比较正确，他将微积分的基础归结为极限，并认为极限是“一个变量趋近于一个固定量,趋近的程度小于任何给定的量”，不过他并未研究到底。

进入 19世纪以后，分析学的不严密性到了非解决不可的地步，而严密的分析是从波尔查诺(Bolzano,1781-1848)，阿贝尔和奥古斯丁-路易·柯西(Cauchy,1789-1857)等人开始的。这和非欧几何的创立、群论的发现差不多处于同一时期。1821年，柯西的《分析教程》一书中将极限定义为“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值,其差可任意小,则该固定值称为这一串数值的极限。”他给出极限比较精确的定义，然后用它定义了连续、导数、导数、微积分和无穷级数的收敛性，并由此出发建立起一个微积分体系。后来卡尔·魏尔施特拉斯（Weierstrass）创立“ ”语言严格定义了极限，才完全摆脱了几何直观所带来的模糊概念，结束了“第二次数学危机”，并沿用至今。此外，奥古斯丁-路易·柯西给出了原函数的准确定义，并推导出牛顿——莱布尼兹公式。至此，柯西建立了一套完整的积分理论。

然而柯西的积分理论是基于闭区间上连续函数提出的，所以不适用于闭区间上有无限多不连续点的情况。在狄利克雷的影响之下，伯恩哈德·黎曼在1854年的“就职论文”(Habilitationschrift)一文中重新考察了用三角级数来表示函数的可能性，提出了黎曼积分并且成功实现了这个想法，找到了不需要预先假设函数的连续性就定义积分的途径，使可积性同连续性分离。黎曼在得到每一个连续函数都是可积的这一结论以后，没有再进行深入研究。闭区间上的连续函数的一致连续性，是直到十八世纪七十年代初有了布尔查诺一卡尔·魏尔施特拉斯定理(由布尔查诺提出，由魏尔斯特拉斯证明的)以后方才严格证明的。按照这个定理，一个闭区间上的每一个无穷点列，都具有收敛于这个区间的某一点的子序列。亨利·勒贝格（Lebesgue）提出的勒贝格积分与有界函数的伯恩哈德·黎曼积分对定义域无穷分割开始构建微积分不同，它是对函数值域进行无穷分割的，使得勒贝格可积函数远多于黎曼可积函数。这样狄利克雷、黎曼等重建了积分的定义，使微积分可以处理闭区间上具有无限多不连续点的函数。

在18 世纪， 微积分得到了进一步发展，因此18世纪被称为“分析的时代”。雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）和约翰·白努利（JohannBernoulli）继承和发展了莱布尼兹的微积分理论，他们把微积分推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论，并推动了无穷级数、微分方程、变分法等微积分分支学科的发展，构建了现代初等微积分的大部分内容。在英国， 布鲁克·泰勒（Brook Taylor）和科林·麦克劳林（Colin Maclaurin）继承了牛顿的无穷级数理论，创建了泰勒公式和麦克劳林公式。

分析学在 19世纪的最后几十年中有许多理论上的进展，海涅在 1870年提出一致连续性。1895年埃米尔·博雷尔(Borel,1871-1956)运用海涅的一个性质，将它上升为有限覆盖定理。1872年卡尔·魏尔施特拉斯给出了处处连续而不可微的函数例子。伯恩哈德·黎曼(Riemann.1826-1866)和达布(Darboux,1842-1917)给出了有界函数可积性的定义和充要条件。

二十世纪微积分在两个完全不同的方面有了新发展，H．亨利·勒贝格(Lebesque，1875—1941)在他的工作中提出的包罗广泛的积分理论，在某种意义上，可以说是实变量实值函数的积分概念的最后推广。A．鲁宾逊(Robinson，1918—1974)的非标准分析，则终于为十七和十八世纪经常使用的无穷小概念提供了逻辑基础。

微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分科学分支关系密切，包括护理学、医药学、工业工程学、商业管理学、精算学、计算机学、统计学等，特别是物理学、数学和经济学中经常会用到微积分学。在数学层面，微积分使得数学可以在变量和常量之间互相转化，让我们可以已知一种方式时推导出来另一种方式；在物理学层面，微积分可以用来研究物体变速运动或变力做功等问题；在经济学层面，微积分能够用于企业的生产优化和决策等。

微积分在数学中的应用十分广泛，具体情况如下：

通过数学建模，可以将生活中的很多抽象问题具体化，因此可以解决很多复杂的数学问题。在传统数学的应用过程中，人们运用微积分建立了许多数学模型，这些模型的研究和应用为该领域的研究做出了卓越贡献。例如，著名科学家艾萨克·牛顿，他借助自身研究的微积分提出了万有引力定律。19世纪中叶荷兰生物数学家韦尔侯斯特通过微积分建立阻滞增长模型，它不仅能够大体上描述人口及许多物种数量（鱼塘中的鱼群）的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用，例如耐用消费品的销售量。经济学中著名的数学模型道格拉斯生产函数、经济订货批量公式也是由微积分得到的。

例：在当前比较热门的房贷问题中，也运用到微积分的相关知识。房贷还息一般有两种方式: 一种方式是等额本金，另一种方式是等额本息。依据这两种还 款方式的不同，设某人贷款额为 A，利息为 m，还款月数为 n，月还款额为 x。根据还款要求，两种方式可以分别生成这样的数学模型: ，。显然，可以通过微积分的相关知识对两式求解并比较出 和 的大小，从而判断哪种还款方式更为合理。

不等式是数学研究的重要工具之一，但由于不等式具有抽象性、逻辑性强的特点导致不等式的初等证法难度较大，而利用微积分思想可以使不等式的证明思路变得简单，同时可以降低技巧性。 例如在拉格朗日中值定理、可导函数单调性、泰勒展开式、极值判定定理等证明中都可以运用微积分的知识来证明。

例：利用积分中值定理，积分中值定理的内容主要为: 在区间(a,b) 内处于连续状态，那么至少存在一点 ，满足

假设 f(x) 为一个单调递减函数,在区间[0,1] 上处于连续状态，试证明当 0 \u003c α \u003c β \u003c 1时，不等 成立。

证明：利用积分中值定理的相关思想，以及函数的单调递减性质，得：

又因:函数 非负以及0 \u003c \u003c \u003c 1，由式(1) 与式(2)，便可以得到：

经化简，得，式子的两边同时乘以

最终得到：

又因：

所以，

证毕。

函数图像的直观性特点明显，画图多采用手绘的方式，但这种作图的方式画出的图像比较粗糙，无法完美展示出函数的特点。因此通过手绘这种方式来展现函数是有缺陷的。而微积分和导数概念相似，并且导数也是微积分的一个重要组成部分。因此，可以借助导数理论来反映出函数的增减区域和计算极值，并且通过这种方式反映出的函数图像是比较准确的。由此也可以看出，在了解函数变化形态和作图的过程中，微积分具有极大的指导应用价值。

微积分作为重要的数学工具，与经济学学科交叉结合，化抽象为具体，化模糊为精确。随着经济的发展，微积分的应用逐渐渗透到财务管理、市场营销、财政、税务等各个经济领域。

据研究，市场经济存在结构为市场主体有限且在商品需求表现方面为离散型，此种结构存在一定特殊性，可采用累加方式计算消费者剩余（“消费者剩余”指的是商品机制与商品定价间存在的差额概念，也可以理解为消费者以自身消费偏好或实际经济能力为依据所支付商品价格与现实支出商品价格间存在的差额），要注意的是，若出现连续需求函数关系，则累加方式应采用积分知识计算消费者剩余。积分与经济学的有效融合并不局限于固有方向，微分逆运用也发挥着显著作用，通过现有函数即边际利润、边际成本、边际收益明确得知的函数的积分处理来计算生产、需求函数。

例： 某生活用品生产企业的生产成本 C 和产量 Q 之间的函数关系为 （元），企业的收入 R 与产量 Q 函数的函数关系为（元）。试问，当企业生产多少件产品时，企业的利润 能够达到最大。

对于这个问题，可运用导数的思想来求解：

令 ，得（件）

验证：由于 ，所以当生产 130 件时，企业将获得最大利润，为 16800元。

受相关因素影响，定量分析面临许多困难，而导数知识运用可以较好地解决此些难题。考虑到实际，虽然导数在经济学中的运用涉及范围广泛，但关键运用集中于经济变量弹性探究与边际分析（在微分学中，通过对已知函数的求导运算而得出的结果就是边际函数），其中边际分析既包括边际利润方面也涉及边际收益与边际成本方面，在利润函数、收益函数已经得知的情况下可以通过导数知识计算厂商实际边际利润与收益。另外，弹性分析也是偏导数知识与经济学有效融合的重要表现，函数自变量中相对变量间的商的具体极限是函数弹性所在。经济学中，导数弹性知识运用的主要目的在于把握经济模型中所涉及变量间的敏感程度，既涉及商品需求弹性也包括需求实际价格弹性。

例： 某企业生产一款产品的边际收入函数为 （万元 /吨），固定成本为 1万元，边际成本函数为 （万元 / 吨），求企业取得最大利润时的产量和利润分别是多少。

分析过程：由题意可以得企业的总利润函数为，由此得到边际利润函数为 ，令其等于 0, 求解得出唯一的驻点： 4 。因此，当企业获得最大利润时，必然存在且只存在唯一驻点，所以，当企业产品的产量在 4 吨时，企业利润最大。由上述分析可以得出，企业的总收入函数为：

企业的总成本函数为：

所以企业产量为 4 吨时，企业获得最大利润 9 万元。

积分在物理学中的应用相当广泛，有很多重要的物理概念以及物理定律都是直接以微积分的形式给出的，例如速度、加速度、转动惯量、安培定律等。

物理学上经常采用导数的思想来将复杂问题简单化。微元法就是将物理学所研究的对象在时间或空间上分割成小量后再对小量进行近似求解， 这些近似处理在无限次分割的情况下趋近于物理问题的真实结果。由无限分割所得到的小量称为微分元，简称微元。微元主要三种类型：线元、面元和体元，在合理地选择构造微元后，运用适当的物理公式，就可使复杂的物理间题简单化，最后求得到理想的物理结果。

例如在力学中对于速度、加速度和变力做功的求解中用到了位移元、时间元、速度元和功元；在刚体质心的求解中用到了质量微元；在电磁学部分对于电场强度和电势等物理量的求解中用到了电荷元；在磁场强度的求解中用到了电流元等。

中学阶段的物理学中大部分定理中适用的对象大多数都是离散变量或是理想模型，在深入研究物理学的过程中，为了处理连续量和变量的物理问题，除了应用微元法外，还要利用积分思想，即对求得的离散的微元问题进行求和。从物理上解释就是标量的代数和、向量的迭加原理。积分法在物理学中的应用十分广泛，例如：电磁学中高斯定理中高斯面内电荷的代数和、磁场安培环路定理中环路内电流的代数和等标量的迭加，还有电场强度、磁场应强度等矢量的迭加原理等。积分法也可以被称为是大学物理中应用最广泛的方法之一。

自微积分学产生以来就对人们生活产生了很大影响，而且随着微积分学科的不断发展和完善，它对越来越多的领域都产生了重大的影响，例如计算机、商业管理、通信、建筑工程、医药等领域。因此，通过了解微积分在实际生活中的一些应用可以帮助我们意识到微积分的重要性，同时对微积分在实际生活中的应用方式进行探索，对于帮助我们更好、更快地解决实际问题也十分有益。

微积分理论不仅可以放大通信信号，为信号传输提供了便利，还能识别传输过程中比较特殊的信号来提高信息识别的时效性和准确性。通常情况下，需要相关人员采集和处理大量信息才能对有用信息进行准确识别，但是如果将微积分理论应用在信息处理过程，通过计算让信号参数值得到进一步放大，就可以提高信号传输速度和识别有效性，例如指纹识别技术， 当用户将指纹信息传送给系统后，系统就回利用微积分方程来预算数据信息，通过对信号频域进行改变可以让信号强度得到进一步增强，进而提高指纹信息识别的准确性。

微积分在建筑领域已经实现了广泛的应用，例如建筑工程造价管理是工程管理的关键，这一环节不仅需要对大量信息进行处理，还要进行运算，对人工的消耗巨大。但是如果 在工程造价中应用微积分理论就可以让运算效率得到显著提升，还可以提高工程造价管理的有效性。 例如，在计算建筑坡道和急弯轮廓时，不仅需要计算坡道坡度和急弯角度，还要对处于这种情况的建筑物承受力进行计算，这是一项烦琐而复杂的计算工作，而且存在很大的计算失误概率，而借助微积分理论知识进行计算可以让计算工作更加高效和准确。

微积分在机械设计领域也起到巨大作用，应用微积分理论知识可以帮助机械设计的高效进行。 例如，可以将微积分计算应用在多边界模型创建后的后续设计中来提高计算准确率和有效性，确保机械设计顺利进行。由于机械设计不仅需要对各种复杂零件进行设计，还需要详细分析和准确计算这些零件的外形，因此可以利用微积分理论知识来辅助叶片外形设计，不仅能够提高设计效率，而且还能兼顾到外界温度对叶片外形的影响，以及离心力的影响作用。 此外，微积分方程还能帮助相关设计人员计算出设备叶片外形在各种参数影响下产生的变形情况，并对设备叶片运行特征所受的影响进行了解，从而为汽轮叶片能够实现安全运转提供了基础保障。