有理数（rational number）是整数和分数的统称，可以写成p/q（p、q是整数，q不等于0）的形式，它可以写为有限小数或无限循环小数的形式。由有理数构成的集合为有理数集，用Q来表示。

有理数一词来源于古希腊的毕达哥拉斯学派提出的“万物皆数”的著名命题，此处的“数”指的就是有理数，且他们将有理数称为“可比数”或“成比例的数”；1574年，克拉维乌斯（Christopher Clavius）将“有理数”翻译为“proportio”，取“可比数”之意；1607年，中国数学家徐光启和西方传教士利玛窦（Matteo Ricci）将有理数“proportio”翻译为古汉语中的“理”，意思是“比值”。

与有理数有关的概念有正数和负数、整数和分数等。有理数具有四则运算及混合运算法则，其运算也满足一定的规律，如分配律、结合律。有理数的运算具有封闭性，有理数具有可比性以及稠密性。在日常生活和生产实践中，经常会遇到具有相反意义的量，如表示温度有“零上”和“零下”、经营情况有“盈利”和“亏损”、水位变化有“升高”和“降低”等等。因此，可将有理数相关知识应用到气候、金融、水文观测等领域以解决实际问题。

整数和分数统称为有理数（rational number）。由于整数可以看成是分母为1的分数，因此有理数可以写成（，是整数，）的形式；另一方面，形如（，是整数，）的数都是有理数，由有理数的定义知，任何有理数都可以写为有限小数或无限循环小数的形式。如果不满足上述条件，它是无限不循环小数，被称之为无理数。

一般地，把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。所有有理数构成的集合为有理数集，用符号表示。

全体自然数组成的集合称为非负整数集或自然数集，记作；全体整数组成的集合称为整数集，记作；全体实数组成的集合称为实数集，记作。则自然数集、整数集、有理数集和实数集之间的关系如下图所示：

有理数的发展历史最早源于古希腊的毕达哥拉斯学派，他们提出“万物皆数”的著名命题，此处的“数”指的就是有理数。该学派认为“一切数都可以表示成整数或整数之比”，有理数应该称为“可比数”或“成比例的数”。在欧几里得的《几何原本》中，有理数便是成比例的数。

1574年，克拉维乌斯（Christopher Clavius）编著的拉丁语版的《欧几里得原本十五卷》（Euclidis Elementorum Libri XV）中，将“有理数”翻译为“proportio”，取“可比数”之意；中世纪的数学家通常用拉丁文词根“proportio”表示“ratio（比）”和“proportionalital（比例）”。同时，克拉维乌斯也用拉丁文词根“ratio”表示“比、比例”的意思。英国的数学家翻译时，选取拉丁文“ratio”作为词根进行“有理数”的翻译，全称是“rational number”，意思是“可比数”。

1607年，中国数学家徐光启和西方传教士利玛窦（Matteo Ricci）将克拉维乌斯的《欧几里得原本十五卷》翻译成古汉语的《几何原本》，将有理数“proportio”翻译为古汉语中的“理”，意思是“比值”。可是“有理数”传播到日本的时候出现了偏差，日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了“理”，而不是古汉语所解释的“比值”。直到后来中日两国才统一了“有理数”的说法。无理数的发现源于毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯，他发现：边长为1的正方形其对角线长度为，这使得数学史上第一个无理数诞生，的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，引起了数学思想上的大革命，历史上称之为第一次数学危机。无理数的发现扩充了数域，使人们对数的认识从简单的有理数集扩展到实数集，推动了数学的发展。

在算术数（除零外）前面放上“+”（读作“正”）号或直接用算术数（除零外）表示的数就叫正数（正号可省略不写）。与正数表示意义相反、且在算术数（除零外）前面加“-”（读作“负”）号表示的数叫负数。0既不是正数也不是负数。

正整数（也叫自然数）、0、负整数统称为整数。正分数、负分数统称为分数。分数可以化为有限小数和循环小数。

数轴上，在原点两边距离原点相等的点所表示的两个数叫做互为相反数（opposite number），它们分别在原点左右，且关于原点对称。互为相反数的两个数符号不同，数值相同。一般地，和互为相反数，表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0，规定0的相反数是0。

一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值（absolute value），记作。一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，即

。

乘积是1的两个数互为倒数，这两个数的分子分母颠倒位置。例如：和互为倒数。

（，都是正数）。

，，。

有理数的减法定义为加法的逆运算，减去一个数，等于加这个数的相反数，从而使有理数的减法转化为求和的运算。有理数减法法则可以表示成。

两个有理数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值。例如，。一般地，在有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。例如。此外，多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘；几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。

有理数的除法可以化为乘法，所以乘除混合运算中先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（除数不能为0）。例如。

有理数的乘方法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。例如，。

做有理数的加减乘除乘方混合运算时，应先乘方，再乘除，最后加减；加减法叫第一级运算，乘除法叫第二级运算，乘方叫第三级运算，同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

例如。

有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。即。例如。

有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即。

例如。

若，则。

一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。例如。

一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即。例如。

若，且，则；若，且，则。

一般地，有理数运算中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即。例如。

如果数集中的任意两个数，进行某一运算的结果都仍在集中，可以说数集对这个运算是封闭的。在有理数集的加、减、乘、除（除数不为零）运算中，对于任意两个有理数，对应的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数，这样有理数集对于加、减、乘、除四种运都是封闭的。

在数轴上表示有理数，有理数从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。例如，，，，。数学中对有理数的大小作出如下的规定：

1.负数和，如果它们的绝对值相等，就算作是相等的数。例如，这个规定叫做负数的同一化原则。

2.每一个负数都小于零，也小于任意的正数。即，（，是正数）。

3.每一个正数和零都大于任意的负数。即，（，是正数）。

4.在两个负数里，绝对值大的那一个数较小，绝对值小的那个数较大。即如果，那么；如果，那么（，是正数）。

有理数是有序的，即任何两个有理数可以比较大小。由数的扩展原则，有理数集的大小关系符合下面五个基本顺序律：设，，是任意三个有理数。

1.顺序的三分性：对于，，必有且仅有三种关系之一成立：，，；

2.相等的反身性：若，则；

3.相等的传递性：若，，则；

4.不等的反对称性：若，则；若，则；

5.不等的传递性：若，，则。

有理数是稠密的，即任意两个有理数之间存在无穷多个有理数。反映在数轴上是任意两个不同的有理点（有理数的对应点）和（有理数的对应点）之间存在无限多个有理点（有理数的对应点）。如有两个有理点和之间的中点是一个有理点，而有理点和之间的中点及有理点和之间的中点也是有理点；且有理点和，有理点和，有理点和，有理点和之间的中点分别为，，，也都是有理点，这说明两个有理数和之间存在无限多个有理点。有理点稠密地分布在整个数轴上。有理数的这一性质，叫有理数的稠密性。

加法单调律：若，则。

证明：由可知，，，

所以。

乘法单调律：若，且，则；若，且，则。

证明：由可知，，根据乘法对加法的分配律得。如果，根据乘法法则有，即，所以；如果，根据乘法法则有，即，所以。

下面证明上一章中不等的传递性，即有理数的大小关系具有传递性。如果，，是有理数，且，，证明。

证明：如果，，这三个数中，没有一个是负数，那么该论断成立。如果，，中至少有一个是负数，这时有以下几种可能：

1.，，中只有一个是负数。这个负数应该是，而可能是0，也可能是正数，一定是正数。见有理数大小比较法则，这时必有。

2.，，中有两个是负数。这两个负数应该是和，而可能是0，也可能是正数。根据有理数的大小比较法则，必有。

3.，，都是负数。已知，，根据有理数的大小比较法则，可推得，，于是再根据正数不等的传递性，可推得，可知。通过列举各种可能的情况，并都得出了的结论，因此证得论断是成立的。

在日常生活和生产实践中，经常会遇到具有相反意义的量，如表示温度有“零上”和“零下”、经营情况有“盈利”和“亏损”、水位变化有“升高”和“降低”等等。因此，可将有理数相关知识应用到气候、金融、水文观测等领域以解决实际问题。

例：某市今天的最高温为7℃，最低气温为0℃。据天气预报，两天后有一股强冷空气将影响该市。届时将降温5℃。问两天后该市的最高气温、最低气温约为多少摄氏度。

解：气温下降5℃，记为-5℃。则有

（℃），（℃）

所以，两天后该市的最高气温约为2℃，最低气温约为-5℃。

例：某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元，4~6月平均每月盈利2万元，7~10月平均每月盈利1.7万元，11~12月平均每月亏损2.3万元。这个公司去年总的盈亏情况如何。

解：记盈利额为正数，亏损额为负数。公司去年全年盈亏额（单位：万元）为

（万元）

答：这个公司去年全年盈利3.7万元。

例：一储蓄所在某时段内共受理了8项现款储蓄业务：存入637元，取出1500元，取出2000元，存入1200元，存入3000元，存人1120元，取出3000元，存入1002元。问该储蓄所在这一时段内现款增加或减少了多少元。

解：记存入为正，由题意可得

（元）

所以，该储蓄所在这一时段内现款增加了459元。

在水文观测中，常遇到水位的上升与下降问题，请根据日常生活经验，回答下面问题。

（1）如果水位每天上升4厘米，那么3天后的水位比今天高或低多少厘米；3天前的水位比今天高或低多少厘米。

（2）如果水位每天下降4厘米，那么3天后的水位比今天高或低多少厘米；3天前的水位比今天高或低多少厘米。

解：规定水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负。

（1）按上面的规定，水位上升4厘米记作“+4”，3天后记作“+3”，则3天后的水位变化是；3天前的水位变化是。所以，3天后的水位比今天高12厘米；3天前的水位比今天低12厘米。

（2）按上面的规定，水位下降4厘米记作“-4”，3天后记作“+3”，则3天后的水位变化是；3天前的水位变化是。所以，3天后的水位比今天低12厘米；3天前的水位比今天高12厘米。