拓扑学(英文名Topology)是研究几何图形在一对一的双方连续变换下保持不变性质的一门数学分支。研究几何形状在连续形变下的不变性，即“拓扑不变性”和“拓扑等价性”等内容。在拓扑学里所研究的图形，大小、形状都可以改变，但是表面的点、线的结合关系、顺序关系应该保持不变。

有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了一些孤立问题，例如，哥尼斯堡七桥问题。1736年，莱昂哈德·欧拉发表了关于哥尼斯堡七桥问题的论文，这篇文章被认为是属于拓扑学的第一篇论文。1847年，利斯廷提出Topology这一数学名词，即拓扑学。用这个词来表示一个新的研究方向——“位置的几何”。"拓扑"(Topology)一词源于希腊语，表示地点(topos)和研究(-logy)。拓扑学属于几何学的范畴，形成于十九世纪。1858年，莫比乌斯和利斯廷各自独立发现了单侧曲面，莫比乌斯带。1895年亨利·庞加莱发表了《位置分析》等一系列拓扑学方面的文章，并提出著名的“庞加莱猜想”。到19世纪末，拓扑学已出现了点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。1935年以后，拓扑学得到了大发展。到20世纪50年代，微分拓扑学有了新进展，产生了K理论。2006年，数学界确认庞加莱猜想被格里戈里·佩雷尔曼证明。

拓扑学是现代数学的一个重要分支。拓扑学的许多抽象概念都可以用橡皮泥来形象化、具体化。因此，拓扑学常常被称为“橡皮几何学”。 按照传统的分类, 拓扑学大致可以分为四个分支: 点集拓扑、代数拓扑、组合拓扑、微分拓扑。拓扑学愈来愈渗入到物理学、化学和生物学领域中，有非常突出的重要应用。

拓扑学(to-pology).是研究几何图形在一对一的双方连续变换下保持不变性质的一门数学分支。这种性质被称为拓扑性质。拓扑学最初属于几何学，叫作“位置分析”或“形势分析”。1847年德国数学家利斯廷改称为“拓扑学”，暗指和地形、地势相类似的学科。经过发展，拓扑学成为研究连续性现象的数学分支，常指与拓扑有关的研究领域。

通常的几何学是研究平面或几何体上点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质；拓扑学对研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和位置关系都不关心，而是研究几何形状在连续形变下的不变性，即“拓扑不变性”和“拓扑等价性”等内容。在通常的平面几何和立体几何中，两个图形等价，是要求两个图形通过平移、旋转等操作能够完全重合；在拓扑学里所研究的图形，大小、形状都可以改变，但是表面的点、线的结合关系、顺序关系应该保持不变。

拓扑学研究几何图形的连续性质，即在连续变形（拉伸、扭曲但不能割断和粘合）下保持不变的性质，包括拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。

在拓扑学中，物体的几何性质不仅可用寻常的“形状”或是“大小”来区分，也可用“洞”的数量来衡量，这是物体的拓扑性质。

拓扑学的基本问题是对拓扑空间进行分类，就是研究不同的图形的拓扑性质怎样来刻画以及拓扑分类问题。

所谓拓扑性质就是几何图形在弯曲，变形，拉大，缩小下仍然保留的性质。直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

图形的拓扑性质就是所有拓扑等价图形都具有的性质。拓扑不变量则是将拓扑性质用数值或代数式来表达的一个物理量。

19世纪中叶已经知道定向闭曲面部分别和球面、环面（汽车胎内）、两孔环面、…g孔环面等等之一同胚，而它们两两之间显然不同胚。也就是球面怎样变形，只要不扯破或粘起来，总也变不成环面。反过来也是一样。其中g＝0，1，2，…的不同反映曲面拓扑性质的不同，称为拓扑不变量。

对于复杂的图形，拓扑学的任务就是去寻找更精致、更普遍的拓扑不变量。

图形在拓扑形变前后仍然保持的性质在拓扑学中被称作拓扑不变性，而形变前后的图形则被称作拓扑等价。两个图形若能从一个拓扑形变换成另一个，则他们也同样被称作拓扑等价的两个图形。

1679年，戈特弗里德·莱布尼茨发表了《几何特性》，论文试图阐述几何图形的基本几何性质，他把他的研究叫做位置分析(analysis situs)。1736年，莱昂哈德·欧拉研究了哥尼斯堡七桥问题，并写了论文，用点代表陆地，用线段代表桥，将问题一般化成为一笔画一个连通的图(graph)的问题，并给出了完全的解答。对哥尼斯堡桥问题答案是否定的．这篇文章是能找到的真正属于拓扑学的第一篇论文。法国数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德，奥古斯丁-路易·柯西先后讨论了论文的证明。

欧拉在1750年发表了多面体的欧拉定理，并用以对多面体分类。1751年他给了一个证明，但证明中有漏洞。1794年法国数学家勒让德给了一个很巧妙的证明。1811年法国数学家柯西给了另一个证明。柯西在这篇文章中还推广了欧拉定理。

1847年，利斯廷提出Topology这一数学名词，即拓扑学。他还说，“拓扑学的定义是场所的关系的定性的规律之研究”。利斯廷在1847年出版了《拓扑学的初步研究》1862年发表了另一著作《空间复形的概述》，进行了拓扑学的研究。

1851年，德国数学家伯恩哈德·黎曼在他的博士论文和1857年的论文《Abel函数的理论》中，创造性地引进了Riemann曲面概念以给多值函数单值化。

利斯廷和莫比乌斯在1858年各自独立地发现了单侧曲面，其中最闻名的是莫比乌斯带。

莫比乌斯在1863年出版了《初等关系的理论》他是对拓扑学研究的本性给出恰当提法的第一人。后来，英国人w．K．Clifford于1877年用有洞的球面来表示Riemann曲面。德国人F．Klein于1882年提出用安了若干个环柄的球面来作为Riemann曲面的模型。这样，实际上就完成了可定向闭曲面的拓扑分类。

菲利克斯·克莱因在1882年还引进了不可定向的闭曲面克莱因瓶，开始了不可定向闭曲面拓扑分类的研究，W．Dyck于1888年完成组合的曲面分类。

1895年亨利·庞加莱发表《位置分析》等一系列拓扑学方面的文章，创立了用剖分研究流形的基本方法，并提出著名的“庞加莱猜想”。

1910-1912年荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔提出用单纯映射逼近连续映射的方法，证明了不同维的欧氏空间不同胚，引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类，并开创不动点理论，使组合拓扑学达到概念精确、论证严密的标准。

1922年美国数学家G.D.伯克霍夫和凯洛格共同将不动点定理推广到无穷维函数空间。1925年德国数学家A.E.艾米·诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下，霍普夫于1928年定义了同调群，从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。

1935年以后，拓扑学得到了大发展。1935年霍普夫与ⅡC.亚历山大罗夫合著《拓扑学》，该书是拓扑学的经典著作，流传很广。1945年美国数字家艾伦伯格与斯延罗德开始以公理化的方式总结当时的同调论。1952年他们合著的《代数拓扑基础》，对代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了推动作用。1950年前后，法国数学家塞尔和勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起谱序列这个代数工具，在同伦群的计算上取得突破，为其后拓扑学的发展开辟了道路。塞尔也是第一位因拓扑学方面的成就而荣获菲尔兹奖的数学家。

除一般拓扑学和代数拓扑学蓬勃发展外，20世纪50年代初法国数学家托姆对高维流形的分类理论进行深入研究。1953年创立配边理论(亦称之为协边理论)，从而使微分拓扑学获得长足进展。1956年美国数学家米尔诺发现7维球面上除了通常的导数结构外，还有不同的微分结构。20世纪50年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了K理论，解决了关于流形的一系列拓扑问题，出现了好几种广义同调论，成为代数拓扑学研究的新的工具。1956年美国数学家Milnor John Willard证明了在7维球面上存在多种微分结构而引起轰动，由此开创微分拓扑学新纪元。1989年Milnor John Willard因为在拓扑学特别是微分拓扑学方面的贡献而获得 Wolf奖。

2003年左右，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼证明了高维庞加莱猜想。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

设是非空集合，是的子集族。如果满足下列条件:

(1)与空集属于

(2)的任意两个元素的交属于，的任意多个元素的并属于，则称为的拓扑。

集合与它的拓扑构成的有序对称为拓扑空间:称为拓扑空间的基集，的元素称为拓扑空间的开集，的点、子集和拓扑分别称为拓扑空间的点、子集和拓扑。也简称为拓扑空间。

设，是拓扑空间，为映射，

(1)如果的每一邻城的原象都是的邻域，则称在点连续.

(2)如果的每一开集的原象都是的开集，则称为连续映射。

设是拓扑空间，若是双射，且与都连续，则称为同胚映射。

设是拓扑空间，如果存在是同胚映射，则称与同胚。

同胚是拓扑学中最重要的概念之一。拓扑空间之间的同胚关系实质上是等价关系。拓扑空间按同胚关系分类，而属于同一类等价类的拓扑空间可看作是相同的。

拓扑性质更精确地表述为：如果一个拓扑空间有某一性质P，而每一个与它同胚的拓扑空间也具有同样的性质P，那么性质P就是一个拓扑性质，而拓扑学就是研究拓扑空间的拓扑性质的一门数学。

假设一个可以任意变换形态的物体A，不管怎么对这个物体进行拉长、扭曲，从而得到另一个形状的物体B。只要变换过程中不存在撕开、或者拉断，或者说形变过程是连续的。就可以将A和B叫做拓扑同胚。

设是拓扑空间，若存在非空的开集，使得，则称是不连通空间，否则称为连通空间。

设是两个映射，如果存在连续映射，使得

就说同伦于。映射称为从到的一个同伦。

若有映射与，使得，则映射称为从到的同伦等价，称为的同伦逆，并且也说与是同伦等价的，或说与具有相同的同伦型。在同伦等价映射下保持不变的空间内在性质称为同伦型不变性质，如果它是数或代数结构，我们也把它称为同伦型不变量。

同伦论主要研究空间以及它们之间的映射的同伦分类。

点集拓扑有时也被称为一般拓扑学，来自于实数集和连续函数的性质 (比如介值定理等).。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。它把几何图形看成是点的集合，同时把整个集合看成是一个空间。数学家们从“邻域”这个概念出发，引进连续、连通、维数等一系列概念，再加上紧致性、可分性和连通性等性质，建立了这门学科。

代数拓扑是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。

代数拓扑包含了同调论和同伦论， 其中同调论来源于莱昂哈德·欧拉凸多面体定理， 同伦论则来源于亨利·庞加莱关于基本群的研究。

代数拓扑的奠基人是法国数学家庞加莱，他将几何图形剖分成有限个相互连接的小图形。他定义了所谓的高维流形、同胚和同调，后来的数学家又发展了同调论和同伦论，并把拓扑问题转化为抽象代数问题。这个领域最早的一个著名定理是由勒内·笛卡尔（1635）提出后又被欧拉（1752）发现的，即任何没有洞的多面体的顶点数加上面数再减去棱数等于2。还有一个所谓的庞加莱猜想（1904），即任意一个三维的单连通闭流形必与三维球面同胚。这个猜想曾被悬赏一百万美元以求得证明。

代数拓扑学的基本思想可以概括为: 把拓扑问题转化为代数问题， 通过计算来进行求解。

同调论与同伦论提供了从拓扑到代数的过渡， 它们是代数拓扑学的两大支柱。在拓扑学研究中， 发展了许多不变量可以用来区别空间的“不同”， 其中同调群是最重要的不变量之一。同调论研究得出的不变量是拓扑学中最易于计算和最常用的不变量， 它对多个数学分支有着直接或间接的影响。 同调论与同伦论有着密切的联系。同伦论的发展使得人们从理论上清楚的认识到同调论本质上是同伦论的一部分。

微分拓扑是研究微分流形和可微映射的一个数学分支。微分流形除了是拓扑流形外，还有一个微分结构。微分拓扑则研究局部微分性质和整体拓扑之间的关系， 比如著名的高斯-博纳特公式。 在几何拓扑的基础上，通过几何的微分形式研究体系的整体性质就是微分拓扑，其包含两个核心概念：底流形和纤维丛。微分拓扑已在物理研究中发挥重要的作用。

组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加菜。组合拓扑实际上可以看成代数拓扑的一部分， 来源于组合同调论。组合拓扑把几何图形看作是由较小的部分组成的，研究这些部分的性质，后来发展成为代数拓扑学。在历史上，组合拓扑学的研究要先于点集拓扑学。

十八世纪，哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这里散步。一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。

1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。

所有的指纹都具有共同的特点，如环点和三叉点（三条线融合）。在1965年，英国医学遗传学家Lionel·Penrose指出掌纹和指纹服从一个普遍的规律：任何有5只手指的手，三叉点一定比环点多4个。1979年他的儿子Roger使用拓扑学证明了这一规律。

两种最基本的奇点类型是三叉点和环点，指纹上所有其他的奇点可由这两种构造出来。

1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。

后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

它是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

在一个平面或球面上的任何地图能够只用四种颜色来着色，使得没有两个相邻的国家有相同的颜色。每个国家必须由一个单连通域构成，而两个国家相邻是指它们有一段公共的边界，而不仅仅只有一个公共点。

这一问题最早于1852年由Francis Guthrie提出，最早的文字记载则现于德摩根于同一年写给哈密顿的信上。包括凯莱、肯普等在内的许多人都曾给出过错误的证明。泰特(Tait)、希伍德(Heawood)、诺曼·拉姆齐和哈德维格(Hadwiger)对此问题的研究与推广引发了对嵌入具有不同亏格的曲面的图的图着色问题的研究。一百多年后，四色问题仍未解决。

1969年，Heinrich Heesch发表了一个用计算机解决此问题的方法。1976年，阿佩尔(Appel)和赫尔曼·哈肯(Haken)借助计算机给出了一个证明，此方法按某些性质将所有地图分为1936类并利用计算机，运行了1200个小时，验正了它们可以用四种颜色染色。四色定理是第一个主要由电脑证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为采用的方法不能由人工直接验证。

20世纪80-90年代曾邦哲的综合系统论（结构论）观将“四色猜想”命题转换等价为“互邻面最大的多面体是四面体”。每个地图可以导出一个图，其中国家都是点，当相应的两个国家相邻时这两个点用一条线来连接。所以四色猜想是图论中的一个问题。它对图的着色理论、平面图理论、代数拓扑图论等分支的发展起到推动作用。

拓扑学在理论物理 ，尤其是量子力学，量子域和弦理论，宇宙学等研究领域都有应用。

理论物理学研究支配原子世界的基本力，拓扑学这门学科很适合研究描述原子内部四处涌现的各类量子粒子的场的各种可能的形状和结构。规范理论和现代几何学不仅彼此相容，还可以互相促进。规范理论方面的研究得出了深刻的几何学新洞见，而几何学领域的一些最新发现也提供了研究规范理论的新视角。

拓扑的概念被扩展到光学、声学、超材料和冷原子体系等领域，极大地促进了拓扑物理学的发展。

化学中最重要的形状问题是分子的三维形状，即分子的三维空间结构，分子的物理化学性质、反应性、反应机理、生化活性和药物作用等都与分子的三维结构高度相关。所以化学的几乎所有分支都需要严格的、客观的分子结构分析方法，分子结构及其变化的研究是理解化学性质和化学反应的基础.拓扑学是分子形状分析和基本信息提取的有效工具，更利于描述量子力学对象。分子拓扑分析最重要的任务之一是对三维拓扑结构进行精确分析和简明描述，而代数拓扑中的同调群和 Betti 数，为分子结构提供了精确的描述，为分子结构相似性和结构互补性提供了直接、客观的数值度量，为分子结构的分类提供了计算手段。

拓扑在统计领域中非常有用。统计学中一个新兴的研究领域是拓扑数据分析。有用的数据通常具有某种结构，这些结构具有某种规律或趋势，而数据分析本质上是揭示此结构的过程。从拓扑结构中，我们知道看起来完全不同的事物实际上可以具有相同的结构。在拓扑数据分析中，数据的结构将会进行拓扑处理，寻找在经过各种处理方式之后保持不变的属性。通过这种方式，我们可以确定数据的真实结构，并且不再依赖数据的观察方式。

 

在一个经济系统中，在适当的假定下，可求得 一个平衡状态，使消费者得到最大的效用， 生产者得到最大的利润。这 种 “ 平衡解 ”存在的严格数学证明，恰恰基于拓扑学的结果。 在一般均衡理论方面，拓扑分析在经济理论的构建方面起到了关键的作用。理论经济学论证了在理想条件下，市场经济是人类最好的制度选择，这是一般经济均衡理论在20世纪50和60年代的重大成果。Arrow-Debreu模型运用拓扑学不动点定理论证经济将达到均衡。拓扑学本质上整体的讨论方式适应了经济学领域的要求，为经济学研究提供了其数学描述的一种方法。

代数拓扑理论与微分几何、复分析、偏微分方程，计算机等学科相结合，产生了跨领域的新学科——“计算共形几何”。该理论被应用于计算机科学中的诸多领域，包括计算机图形学，计算机视觉，几何建模，医学图像和计算几何等。这些应用绝大多数基于平面区域之间的共形变换。随着三维扫描技术的发展，计算能力的提升，以及数学理论的进一步发展，人们已经把计算共形几何理论和算法从平面区域推广到了具有任意拓扑的度量曲面。