方向导数（directional
导数）的通俗解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率
方向导数的精确定义（以三元函数为例）：设三元函数f在点的某
邻域内有定义，l为从点P0出发的
射线为l上且含于邻域内的任一点，以ρ（rou）表示P和P两点间的距离。若极限
方向导数具有多种导数的常见性质，如加法
定则、
常数因子法则、乘法定则（或
戈特弗里德·莱布尼茨法则）以及复合函数求导法则。这些性质使得方向导数在计算和应用中更为灵活。
如果一个
标量场在某点沿任意方向的方向导数都存在，则其中必有最大的一个。方向导数的最大值等于其
梯度的
范数，当且仅当沿着其梯度的方向时取到。这表明标量场某点梯度的方向是函数瞬时变化率最大的方向。
在微分几何中，方向导数可以用来描述在可微
流形上的函数沿着切
向量的变化率。设M是一个可微流形，x是M上的一个点，f是在x的
邻域内有定义且在点x可微的函数。如果v是M在点x的一个切向量，则f沿着v方向的方向导数定义为：
{\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}}