流形（Manifold），是局部具有欧氏空间性质的空间。而实际上欧氏空间就是流形最简单的实例。像地球表面这样的球面是一个稍为复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。

流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的最自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。他们也用于位形空间（configurationspace)。环面(torus)就是双摆的位形空间。

如果把几何形体的拓扑结构看作是完全柔软的，因为所有变形(同胚)会保持拓扑结构不变，而把解析簇看作是硬的，因为整体的结构都是固定的(譬如一个1维多项式，如果你知道区间的取值，则整个实属范围的值都是固定的，局部的扰动会导致全局的变化)，那么我们可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体，其无穷小的结构是硬的，而整体结构是软的。这也许是中文译名流形的原因(整体的形态可以流动)，该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳导数结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理上的模型。

流形可以视为近看起来象欧氏空间或其他相对简单的空间的物体。例如，人们曾经以为地球是平坦的，因为我们相对于地球很小，这是一个可以理解的假象。所以，一个理想的数学上的球在足够小的区域也象一个平面，这使它成为一个流形。但是球和平面有很不相同的整体结构：如果你在球面上沿一个固定方向走，你最终回到起点，而在一个平面上，你可以一直走下去。

一个曲面是二维的。但是，流形可以有任意维度。其他的例子有，一根线的圈(一维的)以及三维空间中的所有旋转(三维的)。旋转所组成的空间的例子表明流形可以是一个抽象空间。流形的技术使得我们能够独立的考虑这些对象，从某种意义上来讲，我们可以有一个不依赖于任何其他空间的球。

局部的简单性是一个很强的要求。例如，我们不能在球上吊一个线并把这个整体叫做一个流形；包含把线粘在球上的那一点的区域都不是简单的—既不是线也不是面—无论这个区域有多小。

我们用收集在地图集中的平的地图在地球上航行。类似的，我们可以用在数学图集中的数学地图(称为坐标图)来描述一个流形。通常不可能用一张图来描述整个流形，这是因为流形和建造它的模型所用的简单空间在全局结构上的差异。当使用多张图来覆盖流形的时候，我们必须注意它们重叠的区域，因为这些重叠包含了整体结构的信息。

有很多不同种类的流形。最简单的是拓扑流形，它们局部看来像欧氏空间。其他的变种包含了它们在使用中所需要的额外的结构。例如，一个微分流形不仅支持拓扑，而且要支持微积分。伯恩哈德·黎曼流形的思想导致了广义相对论的数学基础，使得人们能够用曲率来描述时空。

圆是除欧氏空间外的拓扑流形的最简单的例子。让我们考虑，例如一个半径为1，圆心在原点的圆。若x 和y是圆上的点的坐标，则我们有.

局部看来，圆像一条线，而线是一维的。换句话说，我们只要一个坐标就可以在局部描述一个圆。例如，圆的上半部，y-坐标在那里是正的(右图中黄色的部分)。那个部分任何一点都可以用x-坐标确定。所以，存在双射，它通过简单的投影到第一个坐标(x)将圆的黄色部分映射到开区间：

这样的一个函数称为图(chart)。类似的，下半部（红），左半部（蓝），右半部（绿）也有图。合起来，这些部分覆盖了整个圆，我们称这四个图组成一个该圆的图集(atlas)。

注意上部和右部的图的重叠部分。它们的交集位于圆上x和y坐标都是正的四分之一弧上。两个图 和 将这部分双射到区间。这样我们有个函数T 从到它自己，首先取黄色图的逆到达圆上再通过绿图回到该区间:这样的函数称为变换映射(坐标变换).

上，下，左，右的坐标图表明园圈是一个流形，但它们不是唯一可能的图集。坐标图不必是几何射影，而图的数量也可以有某种选择。考虑坐标图和这里s是穿过坐标为的可变点和固定的中心点的线的斜率; t是镜像对称，其中心点为。从s到(x,y)的逆映射为

我们很容易确认 对于所有斜率值s成立。这两个图提供了圆圈的又一个图集，其变换函数为

注意每个图都缺了一点，对于s是，对于t是，所以每个图不能独自覆盖整个圆圈。利用拓扑学的工具，我们可以证明没有单个的图可以覆盖整个圆圈；在这个简单的例子里，我们已经需要用到流形可以拥有多个坐标图的灵活性。

流形不必连通(整个只有一片);这样，一对分离的圆圈可以是一个拓扑流形。它们不必是闭的；所以不带两个端点的线段也是流形。它们也不必有限；这样抛物线也是一个拓扑流形。把这些自由选择加起来，两个另外的拓扑流形的例子有双曲线和三次曲线上的点的轨迹。

但是，我们排除了向两个相切的圆(它们共享一点并形成8字形)的例子；在切点我们无法创建一个满意的到一维欧氏空间的坐标图。(我们可以在代数几何中用另一种观点来看，在那里我们考虑四次曲线 上的复数点，其实数点构成一对在原点相切的一对圆。

从微积分的观点来看，圆的变换函数T只是开区间之间的函数，所以我们知道它意味着T是可微的。事实上，T在(0, 1)可微而且对于其他变换函数也是一样。所以，这个图集把圆圈变成可微流形。

坐标图(chart)

一个流形的一个坐标映射，坐标图，或简称图是一个在流形的一个子集和一个简单空间之间的双射，使得该映射及其逆都保持所要的结构。对于拓扑流形，该简单空间是某个欧氏空间而我们感兴趣的是其拓扑结构。这个结构被同胚保持，也就是可逆的在两个方向都连续的映射。

图对于计算极其重要，因为它使得计算可以在简单空间进行，再把结果传回流形。

例如极坐标，是一个除了负x轴和原点之外的图。

图集

多数流形的表述需要多于一个的图(只有最简单的流形只用一个图)。覆盖流形的一个特定的图的集合称为一个图集。图集不是唯一的，因为所有流形可以被不同的图的组合用很多方式覆盖。

包含所有和给定图集相一致的图的图集称为极大图集。不像普通的图集，极大图集是唯一的。虽然可能在定义中有用，这个对象非常抽象，通常不直接使用(例如，在计算中)。

变换映射

图集中的图通常会互相重叠，而流形中的一个点可能会被好几个图所表示。如果两个图重叠，它们的部分会表示流形的同一个区域。这些部分之间的关联代表流形上同一点的坐标点的映射，譬如上面圆圈例子中的映射T，称为坐标变换，变换函数，或者转换函数，转换映射。

附加的结构

图集也可用于定义流形上的附加结构。结构首先在每个图上分别定义。如果所有变换映射和这个结构相容，该结构就可以转到流形上。

这是微分流形的标准定义方式。如果图集的变换映射对于一个拓扑流形保持Rn自然的导数结构(也就是说，如果它们是微分同胚)，该微分结构就传到了流形上并把它变成微分流形。

通常，流形的结构依赖于图集，但有时不同的图集给出相同的结构。这样的图集称为相容的。

一个流形可以以不同方式构造，每个方式强调了流形的一个方面，因而导致了不同的观点。

图集

可能最简单的构造一个流形的方法是在上面的例子中的圆圈的构造方法。首先，确认的一个子集，然后覆盖这个自己的图册被构造出来。流形的概念历史上就是从这样的构造发展出来的。这里有另一个例子，把这个方法应用在球面的构造上:

带图册的球面

球面的表面可以几乎和圆圈一样的方法来处理。我们把球面视作的子集:

球面是二维的，所以每个坐标图将映射球面的一部分到一个 的开子集。例如考虑北半球，它是带正z坐标的部分。(在右图中它着红色)定义如下的函数χ

把北半球映射到开单位圆盘，通过把它投影到平面。类似的坐标图对南半球也存在。和投影到平面的两个坐标图以及投影到平面的两个坐标图一起，我们得到了一个覆盖整个球面的含6个坐标图的图册。

这可以很容易地扩展到高维的球面。

贴补

流形可以通过把碎片以一种相容的方式粘合来构造，使得碎片成为互相覆盖的坐标图。这种构造对于任何流形都是可行的，所以经常作为流形的表述，特别是导数和伯恩哈德·黎曼流形。它集中于图册的构造，把流形作为坐标图所自然的提供的贴片，因为不涉及外部的空间，这导致了流形的内在的观点。

这里，流形通过给定图册来构造，图册通过定义转换映射来得到。流形的一个点因而是指通过变换映射映到同一个点的坐标点的等价类。坐标图把等价类映射到一个贴片上的点。通常会对变换映射有很强的一致性要求。对于拓扑流形，它们被要求为同胚；如果它们也是微分同胚，最后得到的流形就是微分流形。

这可以通过变换映射圆圈例子的第二部分中的来解释。从直线的两个拷贝开始。第一个拷贝用坐标s，第二个拷贝用t。现在，通过把第二个拷贝上的点t和第一个拷贝上的点1⁄s作为同一个点来粘合起来(点不和任何第一个拷贝上的点认同)。这就给出了一个圆圈。

内在和外在的观点

第一种构造和这种构造非常相似，但是他们代表了相当不同的观点。在第一种构造中，流形被视为嵌入到某个欧氏空间中。这是外在的观点。当一个流形用这种方式来看的时候，它很容易通过直觉从欧氏空间得倒附加的结构。例如，在欧氏空间，很明显某个点的一个向量是否和穿过该点的曲面相切或者垂直。

贴补构造不用任何嵌入，只是简单把流形看作拓扑空间本身。这个抽象的观点称为内在的观点。这使得什么是切向量更难以想象。但是它表达了流形的本质，在计算上来讲，这使我们避免了使用更高的维度，例如我们只要二维而不是三维就可以作球面上的计算。

作为贴补的n维球面

n维球面可以通过粘合的两个拷贝来构造。他们之间的变换函数定义为

这个函数是它自身的逆，因而可以在两个方向使用。因为变换映射是一个光滑函数，这个图册定义了一个光滑流形。

如果我们取 我们就得倒了上面圆圈的例子。

函数的零点

很多流形可以定义为某个函数的零点集。这个构造自然的把流形嵌入一个欧氏空间，因而导向一个外在的观点。这很形象，但不幸的是不是每个流形都可以这样表示。

如果一个可微函数的雅戈比矩阵在函数为0的每一点是满秩的，则根据隐函数定理，每个这样的点周围存在一个为0的领域微分同胚于一个欧氏空间。因此零点集是一个流形。

作为一个函数零点的n维球面

n维球面Sn经常定义为

这等价为如下函数的零点

这个函数的雅戈比矩阵是

它的秩对于除了原点的所有点为1(对于矩阵就是满秩的)。这证明n维球面是一个微分流形。

认同一个流形上的不同点

可以把流形上的不同点定义为相同。这可以视为把不同的点粘合为同一个点。结果经常不是流形，但在有些情况下是流形。

这些情况下，认同过程是用群来完成的，这是作用在流形上的群。两个点被视为同一个如果一个能被该群的一个元素移动到另一个上面。如果M是该流形而G是该群，结果空间称为商空间，并记为。可以通过认同点来构造的流形包括环面和实射影空间(分别从一个平面和一个球面开始)。

直积

流形的直积也是流形。但不是每个流形都是一个积。

积流形的维度是其因子的维度之和。其拓扑是乘积拓扑，而坐标图的直积是积流形的坐标图。这样，积流形的图册可以用其因子的图册构造。如果这些图册定义了因子上的导数结构，相应的积图册定义了积流形上的一个微分结构。因子上定义的其他结构也可以同样处理。如果一个因子有一个边界，积流形也有边界。直积可以用来构造环面和有限圆柱面，例如，分别定义它们为和。

沿边界粘合

两个带边界的流形可以沿着边界粘合。如果用正确的方式完成，结果也是流形。类似的，一个流形的两个边界也可以粘合起来。

形式化的，粘合可以定义为两个边界的一个双射。两个点被认同为一个，如果它们互相映射到对方。对于一个拓扑流形，这个双射必须是同胚，否则结果就不是拓扑流形。类似的，对于一个微分流形，它必须是微分同胚。对于其它流形，其他的结构必须被这个双射所保持。

有限的圆柱面可以作为一个流形构造，先从一个长条开始，然后把对边通过适当的微分同胚粘合起来。克莱因瓶可以一个带孔的球面和一个莫比乌斯带沿着各自的圆形边界粘合起来得倒。

最容易定义的流形是拓扑流形，它局部看起来象一些“普通”的欧氏空间Rn。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间的拓扑空间。这表示每个点有一个领域，将它映射到Rn。这些同胚是流形的坐标图。

通常附加的技术性假设被加在该拓扑空间上，以排除病态的情形。可以根据需要要求空间是费利克斯·豪斯多夫的并且第二可数。这表示下面所述的有两个原点的直线不是拓扑流形，因为它不是豪斯朵夫的。

流形在某一点的维度就是该点映射到的欧氏空间图的维度(定义中的数字n)。连通流形中的所有点有相同的维度。有些作者要求拓扑流形的所有的图映射到同一欧氏空间。这种情况下，拓扑空间有一个拓扑不变量，也就是它的维度。

一类拓扑空间。除具有通常的拓扑结构外，还添上了导数结构。微分几何学的研究是建立在微分流形上的。三维欧氏空间R3中的曲面是二维的微分流形，但微分流形的概念远比这广泛得多，非但维数不限于二维，而且流形也不必作为n维欧氏空间Rn中的曲面来定义。此外，一般微分流形也不一定有距离的概念。

微分流行很容易定义拓扑流形，但是很难在它们上面工作。对于多数应用，拓扑流形的一种，'微分流形比较好用。如果流形上的局部坐标图以某种形式相容，就可以在该流形上讨论方向，切空间，和可微函数。特别是，可以在微分流形上应用“微积分”。

考虑一个拓扑流形，其坐标图映射到Rn。给定一个Rn的有序基，坐标图就给它所覆盖的流形的一片引入了一个方向，我们可以视为或者右手或者左手的。重叠的坐标图不要求在方向上一致，这给了流形一个重要的自由度。对于某些流形，譬如球面，我们可以选取一些坐标图使得重叠区域在“手性”上一致；这些流形称为“可定向”的。对于其它的流形，这不可能做到。后面这种可能性容易被忽视，因为任何在三维空间中(不自交的)嵌入的闭曲面都是可定向的。

我们考虑三个例子：(1)莫比乌斯带，它是有边界的流形，(2)克莱因瓶，它在三维空间必须自交，以及(3)实射影平面，它很自然的出现在几何学中。

莫比乌斯带

从一个竖着的无限圆柱面开始，这是一个无边界的流形。在高和低的地方各剪一刀，产生两个圆形边界，和它们之间的一个圆形的带子。这是一个带边界的可定向流形，我们在它上面动一个小“手术”。把带子剪开，使得它能展开成一个矩形，但把两头捏住。把其中一头转，把内面翻倒朝外，然后把两头无缝的粘回来。现在我们有了一个永久半翻转的带子，就是莫比乌斯带。它的边界不再是一对圆圈，而是(拓扑上)单个圆圈；曾经是“内面”的现在和“外面”并了起来，使得它只有“单”面。

克莱因瓶

取两个莫比乌斯带；每个都以一个圈为边界。把每个圈拉成一个圆圈，并把带子变成交叉帽(cross-cap)。(注意这在三维空间物理上是不可能的；克莱因瓶不能放到三维空间中，就像莫比乌斯带(或者球面)不能放在平面上一样。实际建造一个克莱因瓶必需在至少四维的空间进行)把圆圈粘合起来会产生一个新的闭合流形，没有边界的克莱因瓶。把曲面闭合起来并不能改变不可定向性，它只是移除了边界。这样克莱因瓶就成了一个不能分辨内外的闭合曲面。

实射影平面

从圆心为原点的球面开始。穿过原点的每条直线在两个相对的点穿透球面。虽然不能物理上这么做，但是在数学上可以把相对点合并为同一点。这样产生的闭合曲面是实射影平面，又一个不可定向曲面。它有一些等价的表述和构造，但是这个方法揭示了它的名字：所有给定的穿过原点的直线射影到该“平面”的一个“点”。

两个原点的线

我们在这里给出一个空间的例子，它满足拓扑流形所有的条件，除了它不是豪斯多夫空间(Hausdorff space)。取两个R的拷贝，把它们写作

and

并定义如下等价关系

if

从这个等价关系得到的商空间L是一个象实直线那样的空间，除了有两个点"占据"了原点。特别的是，它们不能被不交的开集所分离，所以L不是豪斯朵夫的。它是一个拓扑流形，但不是豪斯多夫拓扑流形。

经常，拓扑流形被定义为必须是豪斯多夫的，在这个定义下，上面的例子不是流形。

要在流形上研究几何，通常必须用附加的结构来装饰这些空间，例如上面的微分流形所加入的微分结构。根据所需要的不同的几何，有许多其它的可能性：

复流形：复流形是建模在上的流形，在坐标图的重叠处以全纯函数为变换函数。这些流形是复几何研究的基本对象。一个一维复流形称为伯恩哈德·黎曼曲面。

斯特凡·巴拿赫和Fréchet流形：要允许无穷维，可以考虑巴拿赫流形，它局部同胚于巴拿赫空间。类似的，Fréchet流形局部同胚于Fréchetspace。

轨形(Orbifolds)：一个轨形是流形的推广，允许某种"奇异点"在其拓扑中存在。大致来讲，它是局部看起来像一些简单空间(例如，欧氏空间)通过各种有限群的群作用的商。奇点对应于群作用的不动点，而作用必须在某种意义下相容。

代数簇和概形(Algebraicvarietiesandschemes) ：一个代数簇是几个仿射代数簇粘起来得到的，仿射代数簇是在代数封闭的域上多项式的零点集。类似的，概形是仿射概形粘起来得到的，而仿射概形是代数簇的一个推广。二者都和流形相关，但都使用层而非坐标图集来构造。

第一个清楚地把曲线和曲面本身构想为空间的可能是高斯，他以他的theoremaegregium('高斯绝妙定理')建立了内在的微分几何。

伯恩哈德·黎曼是第一个广泛的展开真正需要把流形推广到高维的工作的人。流形的名字来自黎曼原来的德语术语Mannigfaltigkeit,WilliamKingdonClifford把它翻译为“manifoldness”（多层)。在他的格丁根就职演说中，黎曼表明一个属性可以取的所有值组成一个Mannigfaltigkeit。他根据值的变化连续与否对stetigeMannigfaltigkeit和离散[碳化硅]Mannigfaltigkeit(连续流形和不连续流形)作了区分。作为stetigeMannigfaltikeiten的例子，他提到了物体颜色和在空间中的位置，以及一个空间形体的可能形状。他把一个nfachausgedehnteMannigfaltigkeit(n次扩展的或n-维流形)构造为一个连续的(n-1)fachausgedehnteMannigfaltigkeiten堆。伯恩哈德·黎曼直觉上的Mannigfaltigkeit概念发展为今天形式化的流形。黎曼流形和黎曼球面以他的名字命名。

交换簇的概念在黎曼的时代已经被隐含的作为复流形使用。拉格朗日力学和哈密顿力学，从几何方面考虑，本质上也是流形理论。

亨利·庞加莱研究了三维流形，并提出一个问题，就是现在所谓的庞加莱猜想：所有闭简单连通的三维流形同胚于3维球吗？这个问题已被GrigoriPerelman解决。

赫尔曼·外尔在1912年给出了微分流形的一个内在的定义。该课题的基础性方面在1930年代被哈斯勒·惠特尼等人运用从19世纪下半叶就开始发展的精确的直觉理清，并通过微分几何和李群理论得到了发展。

坐标转换豪斯多夫空间坐标邻域欧氏空间代数簇概形有序基曲面3-流形4-流形拉格朗日力学哈密顿力学离散黎曼曲面莫比乌斯带。

n维流形的概念，在J.L.Lagrange的力学中已经初见端倪，十九世纪中期，已经知道n维Euclid空间是n个实变量的连续统，但是一般n维流形的概念是B.Riemann研究微分几何学时引进的，他是用归纳法进行构造的。正如曲线的运动形成曲面一样，n维流形是把无限多个维流形按照一维流形方式放在一起而形成的。流形的拓扑结构的研究与其局部理论的研究是同时开始的，Riemann、E.Betti、H.Poincaré等人应用的是解析方法，但是，Poincaré为了摆脱这种方法的困难与不利之处，将n维流形定义为一种连通的拓扑空间，其中每一点都具有和n维Euclid空间同胚的邻域，并对之进行研究，从而开辟了组合拓扑学的道路。

在n维欧几里得空间中，由定义的半空间用表示。豪斯多夫空间M，当每点p具有与或同胚的开邻域U(p)时，称为n维拓扑流形。（同胚）的点p的全体∂M称为流形M的边缘，其补集称为M的内部，的流形称为无边缘流形。

n维流形M的边缘∂M是n-1维无边缘流形。紧的无边缘的连通流形称为闭流形，非紧的无边缘的连通流形称为开流形。存在连通的但非仿紧的拓扑流形。一维的这种流形称为长直线。 

圆周是除欧氏空间外最简单的流形。让我们考虑二维平面内一个半径为1，圆心在原点的圆（单位圆）。若x和y是平面上的欧式坐标，那么单位圆的方程就是。

局部坐标卡

单位圆的任意一点附近的一小段都像一条线。而线是一维的图形，我们只要一个坐标就可以标记这一小段上的一个点。例如单位圆在x轴上方的半圆上的任何一点都可以用x坐标确定。所以，存在双射，它通过简单的投影到第一个坐标(x)将圆的黄色部分映射到开区间：。

这样的一个函数称为一个局部坐标卡（local coordinate chart）。类似的，单位圆的下半圆，左半圆，右半圆上也有相应的坐标卡。这四个半圆可以覆盖整个单位圆，我们称对应的四个局部坐标卡组成这个单位圆的一个坐标图集（atlas）。

坐标图集

上面这四个坐标卡和它们之间的坐标变换说明单位圆是一个流形。但在单位圆上还可以有其他的坐标卡和坐标图集。考虑坐标卡 和。这里s是穿过坐标为(x,y)的可变点和固定的中心点(−1,0)的线的斜率；t是镜像对称，其中心点为(1,0)。s到(x,y)的逆映射为。

我们很容易确认对于所有斜率值s成立。这两个坐标卡提供了圆周的又一个图集，其变换函数为。

注意每个坐标卡都缺了一点，对于s是(−1,0)，对于t是(+1,0)，所以每个坐标卡不能独自覆盖整个单位圆。利用拓扑学的工具，我们可以证明没有单个的坐标卡可以覆盖整个单位圆；在这个简单的例子里，我们已经需要用到流形可以拥有多个坐标图的灵活性。

流形反例

流形不必是连通的（整个只有一片），所以两个不相交的圆周也是一个拓扑流形。流形不必是闭的，所以不带两个端点的线段也是流形。流形也不必有限，所以抛物线这样的图形也是一个拓扑流形。

但是，我们排除了向两个相切的圆（它们共享一点并形成8字形）的例子；切点的附近任意小的一部分都不同胚于欧式空间的任何一个开集。 

拓扑流形：拓扑流形为最容易定义的流形，它局部看起来象一些“普通”的欧氏空间。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间（或上半欧式空间）的拓扑空间。这表示每个点有一个邻域，它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到（）。这些同胚是流形的坐标图。

微分流形：微分流形也称为光滑流形，是拓扑学和几何学中一类重要的空间，是带有微分结构的拓扑流形。 微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广，可以有更高的维数，而不必有距离和度量的概念。