在
微积分学中，多元微积分（也称为多变量微积分，英语：Multivariable calculus，multivariate calculus）是涉及多元函数的微积分学的统称。相较于只有单个变量的一元微积分，多元微积分在函数的求导和积分等运算中含有至少两个变量。例如
导数多元函数时，就引申出偏微分、
全微分，对多元函数进行积分计算时，又会涉及
多重积分。当微积分的维度扩展三维，就相当于建立了与现实世界沟通的桥梁，而数学本身作为一个高抽象度的学科就具备了更多的现实价值（从认识论角度讲就是第二次飞跃）。
多元函数的概念很早就出现在物理学中，因为人们常常要研究取决于多个其他变量的
物理量。例如
托马斯·布拉德华曾试图寻找运动物体的速度、动力和阻力之间的关系。不过从十七世纪开始，这个概念有了长足发展。1667年，詹姆斯·格雷果里在 Vera circuli et hyperbolae quadratura一文中给出了多元函数最早的定义之一：“（多元）函数是由几个量经过一系列代数运算或别的可以想象的运算得到的量。”十八世纪，人们发展了基于
无穷小量的微积分，，并研究了
常微分方程和
偏微分方程的解法。那时多元函数的运算与一元函数类似。直到十九世纪末和二十世纪，人们才严格建立起
偏导数（包括二阶偏导数）的计算法则。多元微积分分为多元
导数和多元积分，从本质思想而言还是同一元微积分一样--变化率和累加，所以可以从一元微积分出发理解，但是其又多了许多一元微积分不具备的性质和应用。
多元函数是指定义域为或其一部分，
值域为或的函数。第二种情况可归结为第一种情况，因为它实际上可看成m个定义在上，值域是的坐标函数。这样的函数让定义域中的每个元素（即n元组）对应唯一一个值域中的元素，记为f(x)或，如下所示：
如果
向量空间和上赋有范数，就可以研究这种多元函数的连续性和可微性。如果固定除一个变量外的其他变量，多元函数的研究就可归结为
值域是的函数。如果分别考虑坐标函数的话，甚至可归结为值域是的函数。比如，这种函数的
导数存在的话，就称为原来多元函数的
偏导数。
数学分析中的经典概念可以推广到多元函数，但也要引入线性代数中的概念。
在多元微积分领域，对函数极限和连续性的研究可导致许多违反直觉的结果。例如，一些二元
标量函数，当x，y沿不同路径（例如直线与
抛物线）趋近于极限点时，函数的值不同。例如，函数
沿任何直线趋近于原点(0，0)时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。
每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件：例如，含有两个变量的
实数函数，对于每一个固定的y，f关于x的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的x，f关于y的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。
很容易验证，在实数域中，定义函数：，则对于每一个固定的y，在上连续。同理，函数也是关于y的
连续函数。然而，函数f在原点是不连续的。考虑序列(n为
自然数)，若在原点连续其结果应为。然而，通过计算知其在原点的极限为。因此，f在原点不连续。
偏
导数将导数的概念推广到更高维度。一个多变量函数的偏导数是一个相对于一个变量的导数，所有其他变量视作
常数，保持不变。
偏导数可以组合起来，创造出形式更复杂的导数。在向量分析中，Nabla算子()依据偏导数被用于定义这些概念：
梯度，散度，旋度。在含有偏导数的矩阵中，
雅可比矩阵可以用来表示任意
维空间之间的函数的导数。因此，导数可理解为从函数定义域到函数
值域的逐点变化的线性映射。
重积分将积分的概念拓展至任意数量的变量。
二重积分和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。
富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算二重积分的条件。
在一元微积分中，微积分基本定理建立了
导数与积分的联系。多元微积分中导数与积分之间的联系，体现为
向量微积分的积分定理：
• 格林公式.
在对多元微积分更深层次的研究中，可以认为以上四条定理是一个更一般的定理的具体表现，即广义斯托克斯定理，后者适用于在流形上对
微分形式进行积分。
向量分析研究欧式空间中足够光滑的
标量和矢量场，即欧式空间E中的一个开集到和E的可微函数。因此向量分析是多元微积分的一个分支微分几何里的内容。
不过，向量分析的重要性源自它在物理学和工程科学中的广泛应用，所以上面的E常限制为，即通常的三维空间。在这种语境下，
向量场给空间中的每个点赋予一个带有三个
实数分量的矢量，而标量场给每个点赋予一个实数。以湖水为例，湖水各处的温度形成一标量场，而各处的速度则形成一矢量场。因此，矢量分析是
流体力学、
气象学、静电学、电动力学和
地球物理学的基本工具。