相量
表示正弦量大小和相位的矢量
电路理论中,包括电气工程和电子信息工程等给出的相量的定义是恒定频率下的量,是复数,对应复数空间。分析正弦稳态的有效方法是相量法,相量法的基础是用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。相量由正弦电压的振幅Um和初相ψ构成,复数的模表示电压的振幅,其辐角表示电压的初相。在物理和工程领域中,常会使用到正弦信号(例如交流电路分析),这时可以使用相量来简化分析。相量(英语:phasor)是振幅(A)、相位(θ)和频率(ω)均为非时变的正弦波的一个复数,是更一般的概念解析表示法的一个特例。而将正弦信号用复数表示后进行电路分析的方法称为相量法,而在相量图中利用向量表示正弦交流电的图解法称为向量图法。相量法可以将这几个参数的相互依赖性降低,使这3个参数相互独立,这样就能简化特定的计算。Phasor是Phase Vector的混成词。Phasor也被称作复振幅,在比较古老的英文工程文献当中,也常被写作sinor,甚至写作complexor。
定义
相量是电子工程学中用以表示正弦量大小和相位矢量。当频率一定时,相量表征了正弦量。将同频率的正弦量相量画在同一个复平面中(极坐标系统),称为相量图。从相量图中可以方便的看出各个正弦量的大小及它们之间的相位关系,为了方便起见,相量图中一般省略极坐标轴而仅仅画出代表相量的矢量。通过欧拉公式,我们可以将正弦信号表示为二复数函数项的和,也可单用实部或虚部表示。若所分析电路为线性,由于讯号源只为单一固定频率ω而不产生其他杂项(例如谐波),因此可以只取其复数的常数部分,一般把这部分定义为相量。我们也可以用另一种更精简的极坐标形式表示。在电机工程学领域当中,相角通常是以度来定义,而非弧度;振幅大小则通常是以方均根定义,而非峰-峰值。
用法
相量仅适用于频率相同的正弦曲线电路。由于频率一定,在描述电路物理量时就可以只需考虑振幅与相位,振幅与相位用一个复数表示,其中复数的模表示有效值,辐角表示初相位。这个复数在电子电工学中称为相量。两同频率正弦量叠加,表述为:Asin(ωt+α)+Bsin(ωt+β)=(Acosα+Bcosβ)sinωt+(Asinα+Bsinβ)cosωt。易知,叠加后频率没变,相位变化,而且服从相量(复数)运算法则。故相量相加可以描述同频率正弦量的叠加。相量的的乘除可以表示相位的变化,例如:电感Ι电压超前电流90度,用相量法表示为U=jχI,其中j为单位复数,χ为感抗。相量变换也可以看作是拉普拉斯变换的特定情况,该变换还能同时导出RLC电路的瞬态响应。然而拉普拉斯变换在数学上应用较为困难,因而在只需要进行稳态分析时没有必要使用。
定理
相量形式的KCL定律表示对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一结点,流出(或流入)该结点的全部支路电流相量的代数和等于零。相量形式的KVL定律表示对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路,沿该回路全部支路电压相量的代数和等于零。特别注意的是任一结点全部支路电流最大值(或有效值)和沿任一回路全部支路电压振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零。
电路元件
独立源
一个随时间按变化的电压和电流,可以用一个称为相量的复数来表示。已知正弦曲线电压电流的瞬时值表达式,可以得到相应的电压电流相量。反过来,已知电压电流相量,也能够写出正弦电压电流的瞬时值表达式。
电阻元件
电阻电压的相位与电阻电流的相位相同,U=RI
电容元件
电容电流超前于电容电压90° ,I=dU/dt有:
电感元件
电感电压的相位超前于电感电流的相位90°,U=di/dt有:
运算法则
与常数(标量)相乘
相量与复常数的乘积也是一个相量,这意味着相量乘法只会改变正弦波的振幅和相位。在电子学中,复常数是独立于时间的阻抗,且并不是另一相量的简短记法。阻抗乘以相量电流可得到相量电压。但2个相量相乘或相量乘方运算的结果表示2个正弦波的乘积,这种运算是非线性运算,会产生新的频率分量。相量记法只能表示同一频率的系统,例如正弦波模拟的线性系统。
微分和积分
一个相量的时间导数或积分可以产生另一个相量。因此在相量表示法中,正弦波的时间导数仅需要与常数相乘就能得到;同样,对相量进行积分运算也只需要乘以常数就能得到;不论是微分还是积分运算,时间变量因子均不受影响。当利用相量法求解线性微分方程时,我们只需要将方程中全部项中的因子提取出来后,计算完成后将这一因子重新引入答案中,就可完成全部求解。
加法
多个相量相加可以得到另一个相量,因为同频率的正弦波相加可得到频率相同的合成正弦波。这种计算方法的关键是合成波的振幅和相位并不取决于ω或t,因为在这种情况下才可以使用相量法。方程中的时间和频率因子可以在计算时去掉,在相量运算完成后的结果中乘以这一因子即可。若使用极坐标表示法,运算的形式则为:A1∠θ1 + A2∠θ2 = A3∠θ3。在物理学中,当正弦波发生相长或相消干涉时,可被视为相量加法。用公式可表示为:cos(ωt) + cos(ωt + 2π/3) + cos(ωt + 4π/3) = 0。在三个波相消干涉的情况下,第一个波和第三个波的相位相差240°,而两个波发生相消干涉的条件是相位相差180°时。
相量图
电机工程师、电子工程师、电气工程师以及飞机工程师都使用相量图使复常数和相量变量可视化。与矢量一样,在图纸或计算机中都用态射代表相量。相量可以用指数形式或极坐标形式表示,各有优点。
电路定律
用相量法表示正弦交流电后,就可以将直流电路的分析方法直接用于分析交流电路,这些基本定律如下:
欧姆定律:V=IZ,其中Z是复阻抗。
在交流电路中,有功功率P表示输入电路的平均功率,无功功率Q是使电路内电场与磁场进行能量交换而需要的电功率,不对外做功。这样我们可以定义复功率S=P+jQ,其幅值就是视在功率。由此,由相量表示的复功率为:S=VI *,其中I *是I 的共轭复数)。
基尔霍夫电路定律的复数形式也可用于相量计算中。
由以上定律,我们可以使用相量法进行阻性电路分析,可分析包含电阻、电容和电感的单一频率交流电路。分析多频率线性交流电路和不同波形的交流电路时,可以先将电路化为正弦波分量的组合(由叠加定理满足),然后对每一频率情况的正弦波进行分析,找出电压和电流。
电力工程
在三相交流电力系统的分析中,通常会有一组相量被定义为3个复单位立方根,并以图表示为角0°、120°以及240°处的单位幅值。将多相交流电路的量化为相量后,平衡电路可被化简,而非平衡电路可被当作对称电路的代数组合。这种方法简化了电学计算中计算电压降、功率流以及短路电流所需的工作。在电力系统分析中,相位角的单位常为度,而幅值大小则通常是以方均值而不是峰值来定义。同步相量技术中使用数字式仪表来测量相量,先进的测量设备包括同步相量测量装置(PMU),能直接即刻测得某节点的相量,不需要花费时间进行大量的计算。在输电系统中,相量一般被广泛地认为是表示输电系统电压。相量的微小变化是功率流和系统稳定性的灵敏指示参数。
参考资料
目录
概述
定义
用法
定理
电路元件
独立源
电阻元件
电容元件
电感元件
运算法则
与常数(标量)相乘
微分和积分
加法
相量图
电路定律
电力工程
参考资料