代数数是代数与数论中的重要概念，指任何整系数多项式的复根。所有代数数的集合构成一个域，称为代数数域，记作{\displaystyle {\mathcal {A}}}或{\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}，是复数域{\displaystyle \mathbb {C} }的子域。不是代数数的数称为超越数，例如圆周率 π、自然对数的底数 e。代数数的集合是可数的，而实数和复数的集合是不可数集，因此几乎所有的实数和复数都是超越数。

数学术语代数数

英语：algebraic number

注意：该内容涉及高等数学知识。

满足形如的某整系数代数方程的复数。其中首项（最高次项）系数为1的整系数代数方程的根则叫做“代数整数”。例如是一个实代数数，它满足方程。再如全体有理数及3、等都是代数数。每个有理数（m，n为整数，n≠0）都是代数数，因为它满足方程 。可见代数数集包含了有理数集。然而，代数数集并不包含全部实数。代数数集是一个可数集，即所有代数数能与全体自然数建立一一对应，而实数集是不可数的无穷集，因此，一定存在不是代数数的实数。现已证明 π和e这些无理数不是代数数。不是代数数的数称为超越数。由此可见，就实数集而言，实数既可按有理数和无理数分为两类，又可按实代数数和实超越数分为两类。实代数数集是有理数集的自然扩充。

代数数在有理数下的“+”、“-”、“x”、“÷”运算中是封闭的，因此构成一个域，称为代数数域。注意：代数数在平方和开方的运算中不是封闭的，例如{\displaystyle 2^{\sqrt{2}}}即2的根号2次方不是代数数，它是一个超越数。以代数数作为系数的有限次多项式的根也是代数数。当a为一个非零代数数时，{\displaystyle e^{a}}都是超越数。当a为一个大于0且不等于1的代数数时，ln a是超越数。代数数不一定是实数，实数也不一定是代数数。代数数的集合是可数的，而在复平面上，代数数集合的勒贝格测度为零。在此意义上，可以说“几乎所有”的复数都不是代数数。给定一个代数数z，在所有以{\displaystyle z}为根的有理系数多项式中，存在唯一的一个首一多项式，其次数小于等于任何其他以{\displaystyle z}为根的多项式。这个多项式称为极小多项式。如果极小多项式的次数为{\displaystyle n}，则称该代数数为{\displaystyle n}次代数数。一次的代数数就是有理数。所有的代数数都是可计算数，因此是可定义数。

任何可以从整数或有理数通过有限次四则运算和正整数次开方运算得到的数都是代数数。反之则不成立：有些代数数不能用这种方法得出，这些代数数是次数为5次或超过5次的多项式的根。这是伽罗瓦理论的结果（参见五次方程和阿贝尔－鲁菲尼定理）。一个例子是{\displaystyle x^{5}-x-1=0\,}的唯一实根（大约为{\displaystyle 1.167303978261418684256\,}）。