超越数（transcendental number）是指不是代数数的实数，即不可以作为有理系数多项式的根的数。常见的超越数有自然对数的底e 和圆周率π。

超越数的概念是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）于18世纪提出的，1844年，约瑟夫·刘维尔（J .Liouville）证明了超越数的存在性。基于他的研究成果，埃尔米特(C .Hermite）在1873年证明了e是超越数。 随后，格奥尔格·康托尔(Georg Cantor）给出了关于超越数的非构造性存在的证明。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼（C .L .F .Lindemann）给出了π的超越性证明。进入20世纪，戴维·希尔伯特（David Hilbert）在国际数学家大会上提出了关于超越数的难题，吸引了很多学者的目光。1913年，鲍尔和明尼阿波利斯的斯洛宾建立了定理说明，无论自变量是否是一个除了零以外的代数数、三角函数和双曲函数都是超越数，超越数论逐渐成熟。

超越数的存在性可以通过多种方法进行证明。L-M定理为超越数理论的基本定理，它的推论将一些特殊的超越数联系起来，包括自然对数的底以及圆周率。此外，这些超越数在现实世界中应用广泛，如，自然对数的底可用于金融学复利的计算。

超越数是一种特殊的实数，不是代数数的实数，即不存在任何非零整系数多项式，使是方程的根。

一般地，对于代数数有如下定义：若数满足有理系数代数方程

则叫做一个代数数。若所满足的最低次的代数方程的次数是，则叫做次代数数。

显然，对于任何有理数都是一次方程的根，所以有理数都是代数数，当然，形如的数也是代数数。

1737年，欧拉（Leonhard Euler）以连分数为基础，证明了自然对数的底e是无理数。长城欧拉至少早在1744年就认识到了代数数与超越数之间的差别，他认为“它们超越了代数方法的能力”，从而首次提出了超越数的概念，并且给出定义。他还凭直觉提出以代数数为底，代数数的对数具有超越性的定理，但没有给出证明。后来，德国数学家兰伯特（J.G.Lambert）证明了圆周率π是无理数。1794年，法国数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德（A.M.Legendre）在《初等几何》一书中严格证明了之前的结论，并猜测π是超越数，即无理数可以分为两类。

超越数的存在性首先由法国数学家约瑟夫·刘维尔（J .Liouville）在1844年确定：在18世纪，数学家们没能找到一个具体的超越数，刘维尔在1840年证明了e不是二次代数数，并且在1844年在巴黎宣读了论文《论既非代数无理数又不能化为代数无理数的广泛数类》，宣布了超越数的存在并实际构造出一批超越数，同时猜测自然对数的底e是超越数，但没能给出严格证明。

基于刘维尔之前达成的研究成果，埃尔米特（C .Hermite）在1873年研究报告的第七十七卷中证明了这一结论，e是超越数。1874年格奥尔格·康托尔 (Georg Cantor）关于集合论的工作，是超越数理论的重大突破。他证明了全体代数数组成的集合是可数的，而实数是不可数集合，因而他从存在性角度证明必有超越数存在，这是康托尔关于超越数的非构造性存在的证明。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼（C .L .F .Lindemann）给出了圆周率π的超越性证明，他的证明是埃尔米特证明的推广。随后，德国数学家卡尔·魏尔施特拉斯（Karl Weierstrass）提出了著名的L-M定理，将超越性理论变得更完美，更易于为人所了解。

进入20世纪，超越数论进一步发展并取得了突破性的成果。德国数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）也对超越数理论感兴趣，并在1900年巴黎召开的第二届国际数学家大会上发表了的23个重要的“数学问题”，其中第七个就是关于超越数的问题。当时他认为解决这个问题是相当困难的，需要有新的思想和方法。

1913年，鲍尔和明尼阿波利斯的斯洛宾建立了定理说明，无论自变量是否是一个除了零以外的代数数、三角函数和双曲函数都是超越数，反之亦然，无论函数是否是代数数，自变量均是超越数。

1929 年, 俄罗斯数学家盖尔丰德（A.O.Gelfond）证明了如果α是代数数，α≠0，1，β 是虚二次无理数, 则αβ是超越数。因此是超越数。1930年, 俄国数学家库兹明（R.O.Kuzmin）和德国数学家西格尔（C.L.Siegel）同时将上述结论推广到β是实二次无理数的情形，从而得到的超越性证明。1934年盖尔丰德与德国数学家施奈德（Th.Schneider）独立地完全解决了戴维·希尔伯特第七问题。这也肯定了前述长城欧拉凭直觉的猜测。

50年代起，超越数论取得进一步成果，1955 年，英籍德国数学家罗斯（K.F.Roth）把约瑟夫·刘维尔不等式中的常数“n +δ” 改进到“2 +δ”，即与n无关，而且这是不能再改进的最佳结果。这个定理用途不少，可以证明一些不定方程的解是有限的，还可以改进华林问题。另外一位在该领域做出贡献的是英国数学家贝克尔（A.Baker），其著有《超越数论》《超越数论：进展与应用》《数论简明导引》《超越数论的新进展》等。

约瑟夫·刘维尔证明了形如 的数均为超越数，这里诸是至的整数。具体步骤分为下述两个定理的证明：

定理1：一个次代数数不能有高于阶的迫近。

证明：设实代数数满足方程，取使

设是的一个迫近，显然可设接近于，故可设，且。于是

但

这里位于及之间，于是

即 不能有高于 阶的迫近，定理证毕。

定理2：由给出的实数是超越数。

证明：令，，则

由于是可以任意给的，故由定理1即知是超越数，定理证毕。

康托尔对超越数存在性的证明主要是基于以下事实，即实代数数是组成了一个可数集合，而实超越数集是不可数的。所以有以下命题：实代数数集可以与正整数集建立一一对应的关系，或者说实代数数集与正整数集具有相同的势。

证明：所有代数数组成的集合，即所有形如（其中互质，为正，且方程式不可约）方程的实根。定义方程的高度， ，其中表示的绝对值。对于给定的一个，有有限多个代数方程与它对应。在这些方程中，除去那些可约的方程。因为与的一个给定值相对应的方程个数是有限的，故相应地也只有有限多个代数数，用来表示对应的代数数的个数。现在根据和每个对应的代数数按顺序排列，就可以得到代数数集与正整数集的一一对应关系，即证明了代数数是可数的。

考虑如下命题：在数轴上的任一小段上，总有无限多个不属于给定可数集的点，即由数轴上一小段所表示数值的连续统，其势大于任何给定可数集的势。把该命题中的可数集用代数数集取代，即可说明超越数的存在性，构造如下数表。

其中，所有的代数数都用十进制小数形式表示，则没有一个数是会以的无限序列结尾；因为等式： 表明这样的数是个完整的十进制数。如果能构造一个十进制小数，它在上表中找不到，且不以的无线数结尾，则这个数必定是个超越数。利用格奥尔格·康托尔指出的简单办法，我们能找出不只一个这样的数。例如，假设一个超越数的前五位小数已被给定，康托尔的方法如下：它的第六位小数取为非的且与第一个代数数的第六位小数不同的数；第七位小数取非的且与第二个代数数的第七位小数不同的数；如此类推，用这种方法，就得到一个十进制小数，它不以的无限序列结尾，也不包含在上表中。这样，命题得证，即超越数是存在的。

自然对数的底是取自长城欧拉的名字Euler。在微积分学及其应用中，经常选用作底的指数和对数，因为它具有比以10为底的指数和对数更简单的分析性质。下面是对于超越性的证明，首先引入两个定理：

定理：设是实系数多项式，次数为，记

其中是任意实数，则

为了证明数是超越数，引进多项式

——（1）

其中是素数，是正整数。

引理：具有以下性质：

（a）对于有

；

（b）对于，多项式的系数都是整数且能被整除；

（c）。

下面证明e的超越性：设是代数数，满足整数系代数方程

——（2）

其中，由此导出一个矛盾。

记

——（3）

其中由式（1）定义，

因为数满足方程（2），由定理1得到

——（4）

由引理1可知，

并且在表示式

——（5）

中，有

——（6）

——（7）

由引理1的结论（c），有

将这个等式与式（5），式（6）和式（7）联合，得到

以及

——（8）

另一方面，对于，有

——（9）

其中，于是

——（10）

其中是与无关的常数。

由式（4）与式（10），得到

因此，存在常数，使得当时，有

——（11）

但是，当时，，因此，由式（8）可知，整数

——（12）

这样，如果取充分大，使得，则式（11）与（12）矛盾，这个矛盾说明，数不能满足任何形式如（1）的代数方程，是超越数，证毕。

通常人们将圆周率表述为圆的周长与其直径的比值，同时也可以将相应的圆盘面积（圆圈内的面积）与其半径的相除来得到圆周率。圆周率的超越性可以通过下述方法来证明，首先引入一个定理：

定理1：数是超越数，这里。

下面证明的超越性：若是代数数，则存在整数，使

上式乘以后，即得

于是有

由于 ，故上式表明是一个整系数代数方程的根。这是与定理1矛盾的，故不是代数数，定理证毕。

L-W定理：设是在上线性无关的代数数，则在代数数域上是线性无关的（简称代数无关）。

推论1：若为非零代数数，则是超越数。

推论2：自然对数底是超越数。

推论3：圆周率是超越数，所以尺规作图化圆为方是不可能的。

在L-W定理中取，就得到推论1，即是超越数，取，即知是超越数；考虑

即知是超越数（否则导致是超越数，矛盾），从而为超越数。

在极限量物理学中，自然界的一切物理单元量及其结构因子是由、等综合决定的。它们是自然界时空物理层面之上的基因量之一。极限量、是具有极其稳定不变性的常量、定量，又是有限量与无限量之间的联系纽带与桥梁，是具有有限与无限双重属性的质变关节点，是无需实验检验的，已由极限量数学千百次证明了的极端稳定而可靠的确定量。

与两个超越数，是两个最基本的数量极限。决定着该极限量的超稳定性和无限可分性，起源结构形式的场粒虚实统一的复性。作为时空弯曲因子而使某些阶段性物量得以“固化”和“定态”，具有稳定不变的结构与性质，而使之成为空间结构、物理量进化集结过程中的牢固的“驿站”和“台阶”——质变关节点 。

在几何学中，超越数通常表示某一特定的比例关系。具体来说：在三维空间中，与二维平面中的黄金长方形相对应的是“黄金长方体”，它的长、宽、高之比为。黄金长方体具有以下奇妙的性质，即黄金长方体的表面积与其外接球表面积之比为，这样就建立起了黄金数（无理数 ）与（超越数）之间的一种关系。黄金图形看起来赏心悦目，和谐优美。

在金融界有人称为银行家常数，常应用于复利计算。它还有一个解释：假设有1元存入银行，年利率为10%，10年后的本利和恰为数即

费迪南德·冯·林德曼利用埃尔米特的方法证明了关于圆周长度和直径关系的的超越性。由此他证明了化圆为方问题（其为两千年来困扰人们的古希腊三大几何难题之一）的解答是不可能的。

雅典是著名希腊三大几何问题的诞生地。第一个是倍立方的问题，即仅使用直尺和圆规来作出一个立方体，使其体积为给定立方的两倍；第二个是将任意角三等分：给定一个角，仅使用直尺和圆规将其分成三个相等的部分。第三个问题对人们的语言都产生了影响。人们谈论某些事情不可能完成时或许会说“这不是化圆为方啊”，这句话概述了第三个经典问题：给定一个圆周，仅使用直尺和圆规作一个正方形，使之与给定圆周有相同的面积。其统一三个问题的主线是找到一种仅用直尺和圆规的解法，这一限制是非常严格的。

超越数对于化圆为方问题的解决，可以这样解释：设已知圆为单位圆，所求作的正方形边长为则。 由于是超越数，可知是超越数。因为用尺规作图所作的线段长度都为代数数，故不能是尺规作图所作线段的长度。