尼尔斯·亨利克·阿贝尔(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一个名叫芬德的小村庄。有七个兄弟姐妹，阿贝尔在家里排行第二。他父亲是村子里的穷牧师，母亲安妮是一个非常美丽的女人，她遗传给阿贝尔惊人的漂亮容貌。小时候由他父亲和哥哥教导识字，小学教育基本上是由父亲来教，因为他们没有钱请不起家庭教师。阿贝尔—鲁菲尼定理指出，五次及更高次的代数方程没有一般的代数解法，即这样的方程不能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。

阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解。事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根。然而代数基本定理并没有说明根的具体形式。通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示。例如，任意给定二次方程，它的两个解可以用方程的系数来表示：

这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解。三次方程、四次方程的根也可以使用类似的方式来表示。阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程： ,那么不存在一个通用的公式（求根公式），使用 和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解。或者说，当n大于等于5时，存在n次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到。换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式。这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解。比如 的解就是。

具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由埃瓦里斯特·伽罗瓦给出，因此相关理论也被称为伽罗瓦理论。简单来说，某多项式方程有代数解，等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群。对于一般的二次、三次和四次方程，它们对应的伽罗瓦群是二次、三次和四次对称群： , , ，它们都是可解群。但一般的五次方程对应的是五次对称群，这是一个不可解群。当次数n大于等于5时，情况也是如此。

1824年，尼尔斯·亨利克·阿贝尔证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式．该证明写进了“论代数方所谓方程有根式解(代数可解)，就是这个方程的解可由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来．关于代数方程的求解，从16世纪前半叶起，已成为代数学的首要问题，一般的三次和四次方程解法被意大利的几位数学家解决．在以后的几百年里，代数学家们主要致力于求解五次乃至更高次数的方程，但是一直没有成功．对于方程论，约瑟夫·拉格朗日比较系统地研究了方程根的性质(1770)，正确指出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，从而实现了代数思维方式的转变．尽管拉格朗日没能彻底解决高次方程的求解问题，但是他的思维方法却给后人以启示．P．鲁菲尼(Ruffini)于1799年首次证明了高于四次的一般方程的不可解性，但其“证明”存有缺陷．两年以后，高斯解决了分圆方程的可解性理论问题．拉格朗日和高斯的工作是尼尔斯·亨利克·阿贝尔研究工作的出发点．中学时，他就读过拉格朗日关于方程论的著作；大学一年级开始全面研究高斯的《算术研究》(Disquis-tiones arithmeticae)．后来，他又了解了奥古斯丁-路易·柯西关于置换理论方面的成果．然而，他当时并不晓得鲁菲尼的工作．阿贝尔就是在这种背景下思考代数方程可解性理论问题的．

1824年，阿贝尔首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正确证明．更详细的证明，于1826年发表在尔克雷杂志第一期上．题目为“高于四次的一般方程的代数解法不可能性的证明”．在这篇论文中，阿贝尔讨论并修正了鲁菲尼论证中的缺陷．鲁菲尼的“证明”缺乏域的概念，所以不可能在由已知方程的系数所确定的基础域及域的扩张下进行工作．另外，鲁菲尼“证明”中还用到了一个未加证明的关键性命题，后称阿贝尔定理．该定理说，如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表成方程诸根及某些单位根的有理函数．阿贝尔就是应用这个定理证明高于四次的一般方程不能有根式解的．

上面所说的阿贝尔定理，也就是“置换群”的思想。

他在进一步思考哪些方程（比如)才可用根式解的问题的时候，尼尔斯·亨利克·阿贝尔证明了下述定理：对于一个任意次的方程，如果方程所有的根都可用其中的一个根有理地表出(我们用x表示)，并且任意两个根Q(x)与(这里Q，均为有理函数)，满足关系，那么所考虑的方程总是代数可解的．或者说，根，是根的一个置换．方程根进行这样置换的个数是n．尼尔斯·亨利克·阿贝尔考虑并证明了这些置换的性质，这就是“置换群”。

阿贝尔遗作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿，即“关于函数的代数解法”(Sur la résolution algébrique des fonctions，1839)．文中叙述了方程论的发展状况，重新讨论了特殊方程可解性的问题，为后来E·埃瓦里斯特·伽罗瓦(Galois)遗作的出版开辟了道路．在前言部分，阿贝尔暗示出一种重要的思维方法，他认为解方程之前，应首先证明其解的存在性，这样可使整个过程避免“计算的复杂性”．在代数方程可解性理论研究中，他还提出了一个研究纲领，就是在他的工作中需要解决两类问题：一是构造任意次数的代数可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解．他试图全部刻画可用根式求解的方程的特性．但因早逝而没能完成这个工作，他只解决了第一类问题．几年后，埃瓦里斯特·伽罗瓦接过他的工作，用群的方法彻底解决了代数方程的可解性理论问题，从而建立了现在所谓的伽罗瓦理论．

19世纪之前的300年间，数学家们一直为证明一元四次以上的方程是否有解而忙碌着，可惜他们不是望而却步，就是半途而废，没有一位能揭开这个结。1818年，挪威一位16岁的阿尔贝，在研究了前人的有关这一问题的大量资料后，坚定地对他的老师说：“让我来解答这一历史难题吧，我能证明四次以上的方程是否有解。”他凭着自信，聪明和勤奋，花了六年的时间，给了历史一个圆满的回答：一般高于四次的方程没有代数解。这就是著名的阿尔贝—鲁菲尼定理。

十三岁时，阿贝尔和哥哥被送到克里斯蒂安尼亚(即后来的奥斯陆)市的天主教学校靠一点奖学金读书。在最初的两年，他们兄弟的成绩还不错可是后来教师枯燥的教学方式，高压的手法，使得他们兄弟的成绩下降了。

1817年是阿贝尔一生的转折点。当时给他教数学的老师是一个好酒如命又脾气粗暴的家伙，后因体罚而致死一名学生被解职，并由一位比尼尔斯·亨利克·阿贝尔大七岁的年青的教师霍姆伯厄代替。霍姆伯厄本身在数学上没有什么成就，是一个称职但决不是很有才气的数学家。他在科学上的贡献，就是发掘了阿贝尔的数学才能，而且成为他的忠诚朋友，给他许多帮助。阿贝尔死后，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。

霍姆伯厄很快就发现了十六岁的阿贝尔惊人的数学天赋，私下开始给他教授高等数学，还介绍他阅读泊松、gaussian以及约瑟夫·拉格朗日的著作。在他的热心指点下，乔治·阿贝尔很快掌握了经典著作中最难懂的部分。

在中学的最后一年，尼尔斯·亨利克·阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题，不久便认为得到了答案。霍姆伯厄将阿贝尔的研究手稿寄给丹麦当时最著名的数学家达根。达根教授看不出阿贝尔的论证有甚么错误的地方，但他知道这个许多大数学家都解决不出的问题不会这么简单的解决出来，于是给了阿贝尔一些可贵的忠告，希望他再仔细演算自己的推导过程。就在同时，阿贝尔也发现了自己推理中的缺陷。这次失败给他一个非常有益的打击，把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否可能。后来他终于证明了五次方程不可解，而那已经是他十九岁时的事情了。1822年6月，尼尔斯·亨利克·阿贝尔靠着霍姆伯厄和其他教授们的帮助，在克里斯蒂安尼亚大学念完了必须的课程，那时大学和城里人人都知道他是一个了不起的数学天才。可他的父亲已于两年前去世，家里一贫如洗，没钱继续从事数学研究。他的老师和朋友们也很穷，无法再拿出更多的钱资助他去当时世界数学的中心巴黎深造。

1823年夏，教天文学的拉斯穆辛教授给阿贝尔一笔钱去哥本哈根见达根，希望他能在外面见识和扩大眼界。从丹麦回来后阿贝尔重新考虑一元五次方程解的问题，总算正确解决了这个几百年来的难题：即五次方程不存在代数解。后来数学上把这个结果称为阿贝尔-鲁芬尼定理。阿贝尔认为这结果很重要，便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六页的小册子。

尼尔斯·亨利克·阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给外国的数学家，包括德国被称为数学王子的gaussian，希望能得到一些反应。可惜文章太简洁了，没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不可能用这么短的篇幅证明这个世界著名的问题----连他还没法子解决的问题，于是连拿起刀来裁开书页来看内容也懒得做，就把它扔在书堆里了。

阿贝尔在数学和天文学界的朋友们，说服大学去请求挪威政府资助这个年轻人，作一次以数学为主要目的的欧洲之行。经过过分的慎重考虑之后，政府妥协了，但不是立刻派阿贝尔去法国和德国，而是给他一笔奖金，让他在克里斯蒂安尼亚复习法语和德语。在延误了一年半后，在1825年8月，皇家从窘迫的财政中拨出一笔钱当时二十三岁的阿贝尔，让他足够在法国和德国旅行和学习一年。

尼尔斯·亨利克·阿贝尔在德国并没有去找在哥廷根市的高斯，可能他觉得这个大数学家难以接近，也难以帮助他，因为他以前的作品寄给他却得不到回音。1826年7月，阿贝尔离开德国到了法国，当时的法国皇家科学院正被奥古斯丁-路易·柯西、泊松、傅里叶、安德烈·安培和阿德利昂·玛利·埃·勒让德等年迈的大数学家们把持，学术气氛非常保守，各自又忙于自己的研究课题，对年青人的工作并不重视。阿贝尔留在巴黎期间觉得很难和法国数学家谈论他研究的成果。他曾寄过一份长篇论文给法国科学研究院，论文交到了勒让德手上，勒让德看不大懂，就转给柯西。多产的柯西正忙着自己的工作，无暇理睬，把论文随便翻翻丢在一个角落里去了。

尼尔斯·亨利克·阿贝尔的那篇论文《关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的论文》是数学史上重要的工作，他长久的等待着消息，可是一点音讯也没有，最后只好失望回到柏林。在那里他病倒了，他不知道自己已患上了结核病，以为是法国的孤寂生活使他身体衰弱。他只剩下大约七元钱。他写了一封急信，延误了一些时间，从霍姆伯厄那里借来了一笔钱。阿贝尔从1827年3月到5月，靠霍姆伯厄的大约六十元借款生活和从事研究。最后，当他所有的来源都枯竭时，只好掉头回国。

1827年5月底，阿贝尔回到了克里斯蒂安尼亚。那时他不仅身无分文，还欠了朋友一些钱。他的弟弟无所事事，用他的名字借了一些钱，他必须还清。于是，尼尔斯·亨利克·阿贝尔靠给一些小学生和中学生补习初级数学、德语和法语赚点儿钱。没多久，乔治·阿贝尔很幸运地被推荐到军事学院教授力学和理论天文学，薪水虽不是很多，却已经可以让他安心继续从事椭圆函数的工作了。

这时，阿贝尔的身体越来越衰弱。在1828年夏天他一直生病发烧咳嗽，人也变的消沉，感到前途真是暗淡无光，而且无法摆脱靠他养活的家人的负担。他们直到最后一直缠着他，实际上弄得他自己一无所有，可是直到最后他也从没有说过一句不耐烦的话。

挪威1828年的冬天很冷，阿贝尔穿上了所有的衣服，可是身体还是觉得冷。他咳嗽、发抖，觉得胸部不适，但是在朋友面前他装作若无其事，而且常开玩笑，以掩饰他身体的不舒服。

1829年4月6日，阿贝尔他因患肺结核去世，身边只有未婚妻克里斯汀。尼尔斯·亨利克·阿贝尔死后两天，阿贝尔将被任命为柏林洪堡大学的数学教授这么详细地叙述阿贝尔的生平，很重要的一个原因是阿贝尔生活的平淡无奇，而他在纯粹数学上贡献又只存在于极少的专业人士的心中。