在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L. E. J. Brouwer）。

布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。

不动点定理fixed-小数点 theorem

如果f 是n+1维实心球Bn+1={x∈R n+1|x|≤1}到自身的连续映射（n=1，2，3…），则f 存在一个不动点x∈Bn+1（即满足f（x0）=x0）。此定理是L.E.J.鲁伊兹·布劳威尔在1911年证明的。不动点问题实际上就是各种各样的方程（如代数方程、微分方程、积分方程等）的求解问题，在数学上非常重要，也有很多的实际应用。

建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献．这个定理表明：在二维球面上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的．他把这一定理推广到高维球面．尤其是，在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点．在定理证明的过程中，他引进了从一个复形到另一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念．有了这些概念，他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点．

格奥尔格·康托尔揭示了不同的n与空间Rn的一一对应关系．G．皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形．这两个发现启示了，在拓扑映射中，维数可能是不变的．1910年，布劳威尔环形山对于任意的n证明了这个猜想——维数的拓扑不变性．在证明过程中，布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯逼近的概念，也就是一系列线性映射的逼近．他还创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数．实践证明，这些概念在解决重要的不变性问题时非常有用．例如，布劳威尔就借助它界定了n维区域；J．W．亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性．

这些都是不动点定理的一种延伸。

不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分，该问题的研究已经在偏微分方程、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域获得了极为成功的应用。本文首先整合了以往文献关于不动点定理的一些等价形式，然后在H-空间中建立了新型的不动点定理、截口定理及应用。全文共分为三章：第一章，简要介绍本文将要用到的凸分析，拓扑空间和集值映射中相关的概念和性质。第二章，整合了不动点定理的一些等价形式。首先，简单介绍了Brouwer不动点定理的几个重要的推广形式，然后通过一系列证明得出不动点定理的若干等价形式：Brouwer不动点定理(?)KKM定理(?)FKKM定理(?)Ky Fan极大极小不等式(?)Browder不动点定理(?)Ky Fan不等式Ⅰ(?)Ky Fan极大极小不等式的几何形式(?)Ky Fan截口定理(?)Fan-Browder不动点定理(?)Ky Fan不等式Ⅱ。第三章，首先，介绍了H-空间中一些重要的概念。其次，在H-空间中建立了新的Fan-Browder型不动点定理及其几种等价形式。

布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就，还是更多更一般的不动点定理的基础，在泛函分析中尤其重要。在1904年，首先由Piers Bohl 证明n = 3 的情况（发表于《纯及应用数学期刊》之内）。后来在1909年，鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer）再次证明。在1910年，雅克·阿达马提供一般情况的证明，而布劳威尔环形山在1912年提出另一个不同的证明。这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明，与数学直觉主义理想矛盾。现在已知如何构造（接近）由布劳威尔不动点定理所保证的不动点，见例子 (Karamadian 1977) 和 (Istrăţescu 1981)。

这个定理可以通过很实际的例子来理解。比如：取两张一样大小的白纸，在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面，而另外一张随意揉成一个形状（但不能撕裂），放在第一张白纸之上，不超出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方。一个更简单的说法是：将一张白纸平铺在桌面上，再将它揉成一团（不撕裂），放在原来白纸所在的地方，那么只要它不超出原来白纸平铺时的边界，那么白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过。

这个断言的根据就是鲁伊兹·布劳威尔不动点定理在二维欧几里得空间（欧几里得平面）的情况，因为把纸揉皱是一个连续的变换过程。

另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图，上面标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确，那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。

地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中的不变的，也就是自转运动的不动点。

克纳斯特-塔斯基定理（Knaster–Tarskitheorem）在数学领域序理论和格理论中，克纳斯特-塔斯基定理，得名于克纳斯特（Bronis?awKnaster）和阿尔弗雷德·塔斯基（AlfredTarski），它声称：设L是完全格并设f:L→L是次序保持函数。则f在L中的不动点的集合也是完全格。因为完全格不能是空的，这个定义特别保证f的至少一个不动点的存在，甚至一个“最小”（或“最大”）不动点的存在。在很多实际情况中，这是这个定理最重要的蕴涵。

λ演算（lambdacalculus）是一套用于研究函数定义、函数应用和递归的形式系统。它由阿隆佐·邱奇（AlonzoChurch）和他的学生斯蒂芬·克莱尼（StephenColeKleene）在20世纪30年代引入。Church运用λ演算在1936年给出判定性问题（Entscheidungsproblem）的一个否定的答案。这种演算可以用来清晰地定义什么是一个可计算函数。关于两个lambda演算表达式是否等价的命题无法通过一个“通用的算法”来解决，这是不可判定性能够证明的头一个问题，甚至还在停机问题之先。Lambda演算对函数式编程语言有巨大的影响，比如LISP、ML语言和Haskell。Lambda演算可以被称为最小的通用程序设计语言。它包括一条变换规则（变量替换）和一条函数定义方式，Lambda演算之通用在于，任何一个可计算函数都能用这种形式来表达和求值。因而，它是等价于图灵机的。尽管如此，Lambda演算强调的是变换规则的运用，而非实现它们的具体机器。可以认为这是一种更接近软件而非硬件的方式。

阿隆佐·邱奇图灵论题（TheChurch-Turingthesis）是计算机科学中以数学家阿隆佐·邱奇（AlonzoChurch）和阿兰·图灵命名的论题。该论题最基本的观点表明，所有计算或算法都可以由一台图灵机来执行。以任何常规编程语言编写的计算机程序都可以翻译成一台图灵机，反之任何一台图灵机也都可以翻译成大部分编程语言程序，所以该论题和以下说法等价：常规的编程语言可以足够有效的来表达任何算法。该论题被普遍假定为真，也被称为阿隆佐·邱奇论题或邱奇猜想和艾伦·麦席森·图灵论题。

斯蒂芬·克莱尼不动点定理（Kleenefixed-pointtheorem）在数学中，序理论的克莱尼（Kleene）不动点定理声称给定任何完全格L和任何连续的（因此单调的）函数

f:L→L

f的最小不动点（lfp）是f的升Kleene链的最小上界