拓扑空间（英文名：topological space）是拓扑学领域研究的主要对象，其定义为：对非空集合X上的子集族T，如果满足条件：(1)∅∈T，X∈T；(2)子集族中任意多个集合的并集、有限多个集合的交集属于子集族，则T为X上的拓扑。拓扑空间的等价定义包括闭包公理、邻域系公理、子基公理等公理。

拓扑学的历史可追溯到17世纪，1679年，戈特弗里德·莱布尼茨（Leibniz）提出了位置几何学，不考虑坐标以及度量，直接研究位置关系。19世纪，格奥尔格·康托尔（Cantor）为了能够更方便准确地写出不连续点的集合需要满足的条件，提出了聚点、导集、开集、闭集等概念。1906年，弗雷歇（Frecher）用收敛序列定义了一种空间，1907年，亚当·里斯（Riesz）用聚点也定义了一种空间，都是具有拓扑结构的抽象空间，但是他们的成果不能令人满意。直到1914年，费利克斯·豪斯多夫（Hausdorff）利用邻域系提出的拓扑空间定义发展成为了有系统且详尽的一般理论，一般拓扑学逐渐发展起来。后来，穆尔（Moore）于1916年用开集系、库拉托夫斯基（Kuratowski）于1922年用闭包算子分别提出另一种公理系统，这些定义彼此等价。

利用已知的拓扑空间可以生成子空间、乘积空间、商空间等新的拓扑空间。拓扑空间具有分离性、连通性、紧性等性质，连续映射的概念描述了拓扑空间的连通性。常见的拓扑空间包括向量空间、度量空间、巴拿赫空间、奥古斯丁-路易·柯西空间等。拓扑空间可以推广为模糊拓扑空间和未确知拓扑空间，同样可定义开集、闭集的概念。此外，拓扑空间在现实世界中应用广泛，如在工程学中，基于拓扑优化与仿生的思想，可以设计一种空间太阳能电站，提升热量导出的效率。

子集族：设是一个非空集合，记是的幂集，即以的所有子集（包括空集和自身）为成员的集合。把的子集（即以的一部分子集为成员的集合）称为的子集族。

设是非空集合，是由的某些子集所形成的集族，如果满足，（条件1）；中任意多个集合的并集属于（条件2）；中的有限多个集合的交集属于（条件3），则称为拓扑空间，称为上的拓扑，中的集合为中的开集。在不引起混淆的情况下，通常把简写为，而不专门提到。条件1、2、3称为拓扑公理。

闭包公理：对于的任何子集，都有的子集与之对应，且满足；；

；；称为的闭包。

闭集公理：规定的一个子集族，使它满足；；若，则；若，则，其中，为任意指标集。称为的闭集族，每个称为中的闭集。

领域系公理：对每个，规定的一个子集族，使它满足；若，则；若，

，则；若，则；若，则存在，使得对于，有

。称为的邻域系，每个称为的邻域。

子基公理：规定的一个子集族，满足；；称为拓扑空间的一个子基。

基公理：规定的一子基集族，满足；对于、，存在，使

。称为拓扑空间的一个基。

内部公理：对于的任何子集，都有的子集与之对应，且满足；，；

，；，。称为的内部。

拓扑学的历史可追溯到17世纪，1679年，戈特弗里德·莱布尼茨（Leibniz）提出了位置几何学，不考虑坐标以及度量，直接研究位置关系。1736年，欧拉（Euler）解决了哥尼斯堡的七桥问题。后来，高斯（Gauss）在他有关代数基本原理的第一个证明中研究过和拓扑（位置几何）相关的问题。1847年，高斯的学生李斯廷（Listing）在著作《拓扑学引论》中最早使用了“拓扑”一词。但以上这些学者在拓扑学方面的工作都是无意识的，他们的研究并没有体现出拓扑学研究连续变换下的不变性这一精髓。

拓扑空间定义的诞生，实际上是从德国数学家格奥尔格·康托尔（Cantor）开始的，他最初只是想推广三角级数的唯一性定理，说明该定理即使遇到不连续的函数，在某些情况下仍然成立。为了能够更方便准确地写出不连续点的集合需要满足的条件，19世纪70年代，康托尔提出了聚点、导集、开集、闭集等概念，为一般拓扑学的发展奠定了基础。

真正有意识的研究是从德国数学家伯恩哈德·黎曼（Riemann）开始的，黎曼在复分析中关于函数论方面的研究体现着拓扑的思想，他的工作对后来的拓扑学甚至整个数学都产生了极为重要且深远的影响。1895-1905年间，亨利·庞加莱（Poincare）在《位置分析》下发表了一组论文，开创了现代意义下拓扑学的研究。1930年，所罗门·莱夫谢茨（Lefschetz）第一个将拓扑学（Topology）一词用作他的书名。

基于之前的发展，20世纪，拓扑空间的定义逐渐明确起来。1906年，弗雷歇（Frecher）用收敛序列定义了一种空间，1907年，里斯（Riesz）用聚点也定义了一种空间，他们引进的都是具有拓扑结构的抽象空间，但弗雷歇的定义过于狭窄，里斯的定义过于一般且比较复杂。直到1914年，费利克斯·豪斯多夫（Hausdorff）用邻域系提出了第一个令人满意的拓扑空间定义，他发展了1902年戴维·希尔伯特（Hilbert）用邻域给出平面和1913年赫尔曼·外尔（Weyl）用邻域给出黎曼曲面的思想，把这些概念一般化，并发展成有系统且详尽的一般理论，发展了一般拓扑学这一学科。后来，穆尔（Moore）于1916年用开集系、库拉托夫斯基（Kuratowski）于1922年用闭包算子分别提出另一种公理系统，它们都是等价的。

设是拓扑空间和之间的映射，。如果对于任意包含的开集，总可以找到包含

的开集使得，那么，就称映射在点处连续。进一步，若在上的每一点都连续，则称是连续映射。

连续映射可等价描述为：设是拓扑空间和之间的映射，则（1）是连续映射；（2）对任意的开集

，它的逆像都是中的开集；（3）对任意的闭集，它的逆像都是中的开集。

复合映射的连续性：设和都是拓扑空间的连续映射，则它们的复合映射还是连续的。

若映射将中的任意开（闭）集都映为中的开（闭）集，则称为开（闭）映射，这是与连续性对偶的概念。一般情况下，连续双射的逆映射不是连续的，一个双射是开（闭）映射等价于它的逆映射是连续的。

特别地，如果存在一个到上的映射，使得和都是连续的，则两个拓扑空间和

称为是（拓扑）同胚的，此时为同胚映射。

例1：设为距离空间，为的全体开子集之集，则为上的一个拓扑，称为由距离诱导的拓扑。

例2：设为任意非空集，为的一切子集之集，则为上的拓扑。在这个拓扑下，的任一子集既是开集又是闭集，称这个拓扑为离散拓扑。

例3：设，则为上的拓扑，称为上的平凡拓扑。

例4：设，令，则为上的拓扑。

设是一个拓扑空间。若是的子集，则集数构成的一个拓扑，称为诱导拓扑。此时称为的拓扑子空间。

在此拓扑下，含入映射是连续的，是使得连续的“最粗”（开集最少）的拓扑。当涉及子空间时，“开集”和“闭集”的概念依赖其所在的外围空间。

设是的子空间，若且是子空间中的开（闭）集，则称是的子空间中的开（闭）集。可以证明，是的子空间中的开（闭）集当且仅当是中的某个开（闭）集与的交集。但不一定是

中的开（闭）集。

如果和是两个拓扑空间，那么集合的子集构成的幂集是

的一个拓扑基。

定义上的乘积拓扑为生成的拓扑，在此拓扑下，称为乘积拓扑空间。

假定在抽象集合中，某些元素之间定义了一种关系。如果满足（1）反身性：对任意，

；（2）对称性：若，则；（3）传递性：若，，则，则称这一关系是等价的。

集合称为关于等价关系的商集合。设是一个拓扑空间，在集合中定义等价关系，在商集合

中可以引进自然的拓扑：由元素组成的子集是开集，当且仅当这些集合的并作为的子集是空间中的开集（包含空集）。中这一开幂集是一个拓扑，记为。

1.空间：若拓扑空间中任意两点中一点的邻域不包含另一点，则称为空间。

2.空间：若中任意两点具有不包含另一点的邻域，则称为空间。

3.空间：若的邻域使，则称为空间或豪斯多夫空间。

4.正则空间：若对中任一闭集和，存在开集，使，，，则称为正则空间。

5.空间：正则的空间称为空间。

6.正规空间：若对中任何一对不相交的闭集和，存在两个开集和，使，且

，则称为正规空间。

7.空间：正规的空间称为空间。

8.分离程度：空间必是空间，又必是正规空间；空间必是空间，又必是正则空间；空间必是空间；

空间必是空间。正规空间和正则空间不能比较分离性强弱，也不能与空间、空间和空间比较。

定义：若拓扑空间存在两个不相交的非空开子集和满足，则称是不连通的。此时，和称为的一个分割。若不存在这样的分割，则称是连通的。如果的子空间在诱导拓扑下是连通的，就称是

的连通子空间或连通子集。

拓扑空间的连通性可等价描述为：空间是连通的当且仅当中既开又闭的子集只有和。

如果是拓扑空间之间的连续映射，是的连通子空间，那么是中的连通子空间。

充分条件：若是拓扑空间的连通子集，则中满足的子集也是连通的。特别地，设是拓扑空间，是的一族连通子集，若非空，则它们的并集也是连通的；若和是连通的拓扑空间，则在乘积拓扑下也是连通的。

定义：设是一个拓扑空间，是的子集，是的子集构成的幂集，若，则称

是的一个覆盖；若每个集合都是开集，则称是开覆盖；若也是的覆盖且，则称是

的子覆盖。进一步，若是有限集，则称是的有限子覆盖；若是可数集，则称是的可数子覆盖。若拓扑空间的任意开覆盖都存在有限子覆盖，则称是紧的。

拓扑空间的紧性可等价描述为：

1.具有有限交性质的闭集族有非空交。

2.具有有限交性质的幂集其各成员之闭包的交非空。

3.任意网有聚点。

4.任意滤子有聚点。

5.任意极大滤子是收敛滤子。

性质：

1.紧拓扑空间的闭子集是紧的；豪斯多夫空间中的紧子集是闭集。

2.有限个紧拓扑空间的乘积空间在乘积拓扑下也是紧的。

设是数域上的线性空间，是上的拓扑，如果满足：（1）加法是的连续映射；（2）数乘是

的连续映射，则称为线性拓扑空间，称为上的线性拓扑。

设为线性空间，根据一定规律，可以对于内每两个向量及确定一个实数，叫做矢量及的数积，用

来表示。如果这个规律满足（1）交换律：；（2）分配律：；（3）对于任何实数，；（4）当时，，而当时，则称为欧几里得空间。

设为一非空集合。对于中的任意两个元素，都有一个确定的实数，记为，与它们对应且满足（1）正定性：，当且仅当；（2）对称性：；（3）三角不等式性：

，对任意成立。称是上的一个距离，为与的距离，称是以

为距离的度量空间，记为。此时中的元素又称为点。在不引起混淆的情况下，一般简记为。

设是实数域上的向量空间，是上的实函数且满足：（1）正定性：，且当且仅当是零元素；（2）齐性：，；（3）三角不等式：，则称是

上的范数，为赋范向量空间。通常把范数记为。如果赋范线性空间依距离

，所构成的度量空间完备，则称为巴拿赫空间。

特别地，如果内积空间中所有的柯西列都收敛，则称此空间是完备的。完备的内积空间称为希尔伯特空间。等价地说，一个巴拿赫空间称为希尔伯特空间，如果在上存在一个点积，使得上的范数正好是由关系式

定义的范数。

函数空间拓扑：设为一个函数族，其中的每一个函数从集到拓扑空间，则包含在乘积

内。的点式收敛拓扑是指相对乘积拓扑，于是网收敛于当且仅当对中的每一个有

收敛于。该拓扑上的空间为函数空间，也叫奥古斯丁-路易·柯西空间。

设为非空集合，。称为上的拓扑，如果满足条件：（1）；（2）若

，；（3）若，，则。此时，称为拓扑空间。

设的未确知子集族满足：（1）；（2）若，则；

（3）若，则。此时，称为的未确知拓扑，且称为未确知拓扑空间。在模糊拓扑空间和一般拓扑空间中，同样可定义开集、闭集的概念。

1.设为未确知拓扑空间，若的所有未确知子集的隶属函数的取值为内的实数，则的未确知子集变为模糊子集，因此未确知拓扑空间可变为模糊拓扑空间。

2.设为未确知拓扑空间，若的所有未确知子集的隶属函数取值为和，则的未确知子集变为康托尔子集，即变为一般拓扑空间。

因此，一般拓扑空间和模糊拓扑空间为未确知拓扑空间的特例，而未确知拓扑空间为一般拓扑空间和模糊拓扑空间的推广。故

。

汽车实际行驶是个受载复杂多变的综合情况，在车身结构概念设计阶段既要考虑单一工况的拓扑优化设计，又要进行综合工况的拓扑优化设计。对车身结构进行拓扑优化时，通常将车身面的包络空间用作拓扑优化的初始空间，然后剔除乘员所占空间、底盘所占空间以及动力系统所占空间，从而得到期望的拓扑空间。

基于拓扑优化，联合流体出口边界与流道构型，可以建立最小化表面平均温度和流道压力损失的优化模型，得到陀螺馈源光伏阵上背板流道最优的出口位置与最佳拓扑构型，使馈源中的热量导出效率明显提高。然后，建立仿凤蝶总科翅膀形状与结构的对自由空间辐射散热的布局与拓扑优化模型，在满足性态前提下显著提升辐射效率。

拓扑研究几何对象在弯曲或拉伸等变换下仍保持不变的性质，空间关系是空间物体之间由空间物体的几何特性（位置、形状）所决定的关系。拓扑关系是空间关系中的一种，在GIS中，拓扑关系反映了空间实体之间不随实体的连续变形而改变的与量度和方向无关的一种空间关系。ArcGIS中的拓扑定义了点、线和多边形要素如何共享共同几何图形，以及参与拓扑的要素类的完整性规则和拓扑行为，这使得拓扑在空间数据质量检查方面具有突出的优势，为地理国情数据中的空间数据部分的检查提供了技术支撑。