数学建模是将实际问题转化为数学问题，并在数学问题中融入一定的知识，运用数学的知识和方法对实际问题进行求解的一种研究方法。数学建模过程主要包括三个方面，即模型建立、模型求解、模型实验。通过这一过程，可以对问题进行适当简化，建立适合的数学模型，然后对模型进行求解。最后，根据结果对模型进行检验和修正，并将其应用和推广到实际问题中。数学建模现已在工程、医学、经济、能源等其他领域发挥着重要作用，已经成为当代高新技术的重要组成部分。

数学建模在多个领域有广泛的应用，包括自然科学，如物理学、化学、生物学和宇宙学；工程学科，如计算机科学和人工智能；以及社会科学，如经济学、心理学、社会学和政治学等。这些领域利用数学模型来研究和解决各种问题，帮助科学家和研究人员更好地理解现象、预测趋势，以及制定决策。数学建模没有固定的模式，它与实际问题的性质、建模的目的有关。在数学建模过程中，要注意具体问题具体分析。

卡尔·马克思说过，“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。”可以说数学在各门学科中被应用的水平标志着这门学科发展的水平。当实际问题需要研究时，那么就要对所研究的现实对象提供分析、预测、决策、控制等方面的定量结果，这就离不开数学的应用，而建立数学模型是整个研究问题中的关键环节。

古希腊数学最早分为代数和几何，分别起源于计数、丈量大地及天文观测等实践活动。西方工业革命后，随着科学技术的发展，当时对静态的数量和空间关系的数学研究成果已不能满足需求，因此用于处理变量的微积分就应运而生。数学家们用了百余年将其理论逐步完善，使得微积分成为今天强大的数学分析工具。第二次世界大战期间，弹道设计、飞行控制、物资调运、密码破译等方方面面对数学的迫切需求，快速地将数学的应用推向了更多的领域，催生了一大批新的数学学科，迎来了应用数学蓬勃发展的时代。21世纪，信息化社会和互联网时代对数学提出了更为广泛和深刻的要求。具有时代特征的大数据有力地推动着数学科学的发展，数学发展进入一个新时期。

而随着科学和社会的发展，实际应用中大量的问题，需要应用数学工具去解决，其中有些问题用已知的数学工具就可以解决，而有更多问题对现有的数学理论提出了挑战，甚至催生了许多新的数学分支.所以数学的理论和应用的关系就像中国古典哲学思想的太极圆，你中有我，我中有你，而连接理论和应用的一个直接的纽带就是数学建模.

概括地说，数学建模是数学通向实际应用的必经之路，也是促进数学发展的重要因素.数学建模面对的是实际问题，它是应用数学的第一步。

数学建模通常由关系和变量组成，这些关系可以用不同类型的算符来描述，如代数算符、函数、导数算符等。变量是抽象化的系统参数，代表关注的可量化特性。这些算符可以与变量组合以形成数学表达式，但也可以独立存在。通常情况下，数学模型可以分为以下几类：

1.线性与非线性：在数学建模中，如果所有变量表现出线性关系，由此产生的数学建模为线性模型。否则，就为非线性模型。对线性与非线性的定义取决于具体数据，线性相关模型中也可能含有非线性表达式。例如，在一个线性统计模型中，假定参数之间的关系是线性的，但预测变量可能是非线性的。同理，如果一个微分方程定义为线性微分方程，指的是它可以写成线性微分算子的形式，但其中仍可能有非线性的表达式。在最优化模型中，如果目标函数和约束条件都完全可以由线性方程表示，那么模型为线性模型。如果一个或多个目标函数或约束表示为非线性方程，那么模型是一个非线性模型。即使在相对简单的系统中，非线性也往往与混沌和不可逆性等现象有关。虽然也有例外，非线性系统和模型往往比线性研究起来更加困难。解决非线性问题的一个常见方法是线性化，但在尝试用来研究对非线性依赖性很强的不可逆性等方面时就会出现问题。

2.静态与动态：动态模型对系统状态随时间变化情况起作用，而静态（或稳态）模型是在系统保持平稳状态下进行计算的，因而与时间无关。动态模型通常用微分方程描述。

3.显式与隐式：如果整体模型的所有输入参数都已知，且输出参数可以由有限次计算求得（称为线性规划，不要与上面描述的线性模型相混淆），该模型称作显式模型。但有时输出参数未知，相应的输入必须通过迭代过程求解，如牛顿法（如果是线性模型）或布洛登法（如是非线性模型）。例如结合太阳能光伏阵列构成特点及 Lambert W 函数建立光伏阵列显隐式数学模型。通过对光伏阵列的故障仿真和模型参数辨识的研究，可以分别得到其电气故障特征和模型参数故障特征，最后结合两种特征对光伏阵列故障识别方法进行研究。

4.离散与连续：在数学中也始终有两条主线在平行地发展，一条是离散变量的数学，另一条是连续变量的数学。有许多公式和定理也具有一一对应的关系。离散模型将对象视作离散的，例如分子模型中的微粒，又如概率模型中的状态。而连续模型则由连续的对象所描述，例如管道中流体的速度场，固体中的温度和压力，电场中连续作用于整个模型的点电荷等。

5.确定性与概率性（随机性）：确定性模型是所有变量集合的状态都能由模型参数和这些变量的先前状态唯一确定的一种模型；因此，在一组给定的初始条件下确定性模型总会表现相同。相反，在随机模型（通常成为“概率模型”）中存在随机性，而且变量状态并不能用唯一值来描述，而用概率分布来描述。

6.演绎，归纳与漂移：演绎模型是建立在理论上的一种逻辑结构。归纳模型由实证研究及演绎模型推广而得。漂移模型则既不依赖于理论，也不依赖于观察，而仅仅是对预期结构的调用。当应用数学在经济学以外的社会科学时，此类模型一直被批评为毫无根据的模型。科学中在突变理论的应用已被定性为漂移模型。

首先提出问题，了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。　　

根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。　　

在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。 　　

利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。　

对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。　　

将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。　　

应用方式因问题的性质和建模的目的而异，而模型的推广就是在现有模型的基础上对模型有一个更加全面的考虑，建立更符合现实情况的模型。

建模是指将现实世界的问题或系统抽象为数学模型的过程。这个数学模型可以是一组数学方程、图形、计算程序或符号，用来描述问题的关键特征和关系。建模的定义涵盖了以下关键要点：

总之，建模是将复杂的现实问题用数学语言进行抽象和描述的过程，以便更好地理解问题、预测趋势、优化决策，同时为科学研究和实际问题的解决提供强有力的工具。数学建模在各个领域都具有广泛的应用，从自然科学到社会科学，都离不开建模的支持。

数学建模的组成要素是建立数学模型所必需的关键元素，它包括以下内容：

这些组成要素共同构成了一个完整的数学模型，用于描述和解决现实世界的问题。建模的质量和准确性取决于对这些要素的明确定义和适当选择。数学建模在科学研究、工程、经济学、社会科学等领域都具有广泛的应用，为问题的理解和解决提供了重要的工具。

数学建模是一种将现实问题转化为数学模型的方法，借助符号、计算、推理和实验等方式进行研究。它的应用范围涵盖了经济学、工程学、物理学、计算机科学和生物学等多个领域。总的来说，数学建模是一种非常有价值的工具，被广泛应用于经济、物理、计算机科学等各个领域。通过数学建模方法，我们能够更好地理解和解决现实世界中的各种问题。

随着社会经济的不断发展，数学正以前所未有的速度在各个领域不断发展，而数学建模作为数学的一种应用，日益引起了社会关注，并被广泛地运用于国民经济。尤其是在优化问题的求解、生产效率的估计、风险管理、金融市场分 析等领域取得了较好的效果。

费用分配问题：假设企业有一定的成本费用需 要分配，已知待分配对象的总数量，且分配标准也已知，确定各对象的分配额度。

①数学模型1—分配率法，建立的数学模型如下：

式中：C 为费用总额，即总成本；n 为待分配对象的总 数量；xi (i=1,2,…n) 为第 i 个待分配对象对应的分配标准；λ 为分配率；Ci 为第 i 个费用分配对象所对应的费用分配额。

这里引入“比例”思想替代“分配率”，问题就会变 得简明许多。

②数学模型2—比例分析法，建立的数学模型如下：

式中：βi 为第 i 个分配对象的分配数额占总费用的 比例。

相较于模型1，模型2能更好地反映经济活动的事实， 因此，在解决会计中的费用差异分析时，比例分析法比分配率法具有更强的适用性。

许多物理问题一旦转化为用为用数学模型来处理，就变得目标明确、思路顺畅，因此它是一种很重要的思维方法，在物理学中运用广泛。物理问题的数学模型的建立，都大致经过以下几个主要步 骤：物理原型的分析、物理原型的简化、数学模型的建立。

基于单整流管的太阳能光伏阵列数学模型 ：一般来说，单个光伏电池的输出电流和电压都很低，并且测量很不方便，因而在实际工程中无法直接应用。在实际光伏电站中，通常可以直接测量得到的是光伏阵列的输出电 流和输出电压，光伏阵列一般是由多个光伏组件单体通过串并联方式构成，而光伏组件又 是由多个光伏电池通过串并联方式得到，因此可以认为光伏阵列是由多个光伏电池串并联得到。光伏电池串联可以提高总的输出电压，并联可以提高总的输出电流，因而光伏电 池经过串并联得到的光伏阵列可以使得输出电流和电压同时提高，使得总的输出功率可以满足负载需求。 在部分研究中，一般会将太阳能光伏阵列等效为一个大的光伏电池，此时它们的单整流管等效电路也是相同的，在本文中，假定光伏阵列有Np 个并联支路，每个并联支路包含有 Ns 个串联的光伏电池单体，根据其串并联关系，得到等效电路如图所示：

根据光伏阵列（Ns*Np）单二极管等效模型可以看出，经过串并联之后光伏阵列的五参数分别为二极管反向饱和电流 NpId，光生电流 NpIph，串联电阻 RsNs/Np、并联电阻 RshNs/Np、二极管理想品质因数 Nsn，Ns*Np 个光伏电池串并联得到的阵列输出特性方程隐式表达式，如下式所示：

同理，Ns*Np 个光伏电池串并联得到的阵列输出特 性方程显式表达式如下：

其中，Ns为太阳能光伏阵列的串联数，Np 为光伏阵列的并联数。在上述单整流管等效模型中，光生电流 Iph、串联电阻 Rs、二极管理想品质因数 n、并联电阻 Rsh 以及二极管反向饱和电流Id等5个参数一般是未知的，生产厂家并不会提供，而这些参数对光伏电池的输出特性也有很大的影响，因此求解模型参数可以为分析光伏故障机理提供依据。

发展至今，数学建模已达到非常高的水平，几乎所有的建模都需大量的计算，换个角度说，计算机科学技术几乎不可避免在现代的数学建模中，它在数学建模计算过程中占据无与伦比的地位，两者在这一过程中都相互促进和影响。计算机技术起源于数学建模过程，在 1980年代，在计算导弹飞行过程中的轨迹，由于计算量过于庞大，人工操作无法满足这一过程中对计算准确度和计算速度的要求，开始将计算机科学技术在这一背景下应用。

利用《几何画板》软件对花瓣进行数学建模：在日常生活中观察到树叶的形态千姿百态，花瓣的曲线变化多端，自然会联想起它们在数学意义上的曲线方程会是什么？好奇心可以让我们提出种种假设，但无法忍受对各种假设进行繁锁手工绘图。现在有了计算机以及相应的软件，为我们解决了这个问题。我们可以利用计算机开展数学实验。比如联系极坐标方程ρ＝asin nθ，在《几何画板》软上，可以容易画出ρ＝ asin2θ的图像，发现是一个漂亮的，四叶玖瑰线，很像生活中观察到的花瓣，那么 ρ＝ asin3θ 呢？是一个三叶玖瑰线，于是猜想ρ＝asin nθ图像对所有的n可能全是花瓣，然而通过动手实验发现并非如此，计算机为数学建模提供了一个数学实验室，使学生在实验中学习数学建模。

现代医学发展的一个趋势就是从传统的定性研究转变成为定量研究，因此，医学研究与数学方法的结合成为一个必然的过程，目前很多医学问题都可以通过建立数学模型来解决，尤其是概率论与数理统计方法在医学中的应用十分广泛，还有显著性检验、回归分析、方差分析等，都在医学研究中有所应用，对于促进医学领域的发展有重要意义。

案例1：肿瘤生长的数学建模

在医学中，数学建模也被用于描述和预测肿瘤的生长和扩散。虾米那是一个简单的模型，描述一个肿瘤的体积随时间的增长。

模型的基本方程为：

模型是基于逻辑生长模型，考虑了肿瘤生长的局限性，即肿瘤不能无限制地增长。使用这个模型，医生和研究者可以预测肿如何随时间增长，并根据治疗策略来调整其预测。

案例2: 桥梁振动的数学建模

在工程领域，桥梁的结构完整性和安全性是非常重要的。为了预测和分析桥梁在特定条件下 的振动行为，可以使用数学模型。下面是一个简单的单自由度系统，描述桥梁在垂直方向上的振动。模型的基本方程为：

其中， y是桥梁的位移， m是桥梁的质量, c是阻尼系数， k是桥梁的刚度， F(t)是作用在桥梁上的外部力。

这个模型可以帮助工程师预测桥梁在特定的载荷和环境条件下的振动行为，从而设计出更加 稳固和安全的桥梁结构。

【例1】产品生产

在某工厂的生产过程中，有两种产品A和B需要制造。制造1吨产品A需要消耗8吨煤、3千瓦电力，以及2个工作日的时间。而制造1吨产品B需要消耗4吨煤、4千瓦电力，以及9个工作日的时间。每吨产品A可以带来6000元的利润，而每吨产品B可以带来8000元的利润。

现在，工厂的原材料存量包括300吨煤和100千瓦电力。工厂有200个工作日的时间来生产这两种产品，并希望实现最大化利润。在这个情境下，应该如何合理安排产品A和产品B的生产数量以达到最大化利润。（参考数据表1）

在这个问题中，我们需要找出如何分配资源以最大化利润。我们有两种产品，A和B，分别计划生产的数量分别用x1和x2表示（单位：吨）。利润可以用目标函数f=6x1+8x2（单位：千元）来表示，我们的目标是使这个函数取得最大值。

然而，资源是有限的，包括煤、电力和时间。例如，生产产品A需要消耗8x1吨煤，生产产品B需要消耗4x2吨煤，而工厂只有360吨煤可供使用。这意味着煤的消耗总量必须小于或等于360吨，否则资源不足。

同样，生产产品A需要3x1千瓦电力，生产产品B需要4x2千瓦电力，而工厂只有100千瓦电力可供使用。因此，电力的消耗总量必须小于或等于100千瓦。

另外，工厂有200个工作日的时间来生产这两种产品，这就是我们的时间限制。

因此，我们的任务是在这些限制条件下，找到合适的x1和x2的数值，以实现最大化利润。这是一个典型的线性规划问题，目标是找到最佳的资源分配方案，以满足需求并最大化利润，既

8x1＋4x2≤360

同理，对电力资源的消耗不得高于其供应量200kW，对劳动力时间的消耗不得高于300 工作日，这些限制可以写成如下约束条件∶

3x1+4x2≤100 

2x1+9x2≤200

 同时，每种产品可以生产一定数量或者不生产，故还需要满足非负限制，即

x1≥0,x2≥0

 综合以上几点，该问题可以表述为如下的形式∶

 s.t.是subject to的缩写，表示约束条件，该问题的表述即为∶在满足资源约束的条件下，求出产品A、B的产量x1和x2，使得利润总额f达到最大。可以看到，目标函数和约束条件均是线性的，故这是一个典型的线性规划问题。

【例2】 任务分配

在这个项目中，有4个任务需要完成，任务之间是连续的，也就是说，完成了一个任务才能开始下一个。同时，有4名项目组成员（甲、乙、丙、丁），每个成员只能完成一个任务。每位成员完成不同任务所需的时间如表格所示。

我们的目标是找到一种最优的任务分配方式，以最小化整个项目的总时间。任务分配的优化意味着我们需要合理地选择哪个成员完成哪个任务，以使整个项目的持续时间最短。

这个问题可以被视为一个组合优化问题，其中我们需要考虑不同的任务分配方案，并比较它们的总时间，以找到最佳方案。我们的目标是通过合理的任务分配来最大程度地减少项目的总时间。这将需要对每个成员的任务分配进行精确的计算和比较，以找到最佳策略。

首先，假设设计变量表达成如下形式∶

 

其中，xij为0-1变量，i代表项目组成员的序号，j代表任务的序号，则该变量代表的意义为∶

x11、x12、x13、x14分别代表指派甲完成任务1、任务2、任务3、任务4;

x21、x22、x23、x24分别代表指派乙完成任务1、任务2、任务3、任务4;

x31、x32、x33、x34分别代表指派丙完成任务1、任务2、任务3、任务4;

x41、x42、x43、x44分别代表指派丁完成任务1、任务2、任务3、任务4。

 则效率矩阵可以表达为∶

 

该问题的目标就是选择一种合适的一对一的组合，使得最后所花费的时间总和最小。根据上述假设，可以得到目标函数，即所花费的总时间为∶

 

下面探讨约束条件，因为按照题意，每个人只能完成一项任务，故有∶

 

同时，由于每项工作有且仅有一人去完成，故有

综合以上分析，得出该问题可以表述成如下形式∶

上述问题即是，在设计变量的值要么取0、要么取1和满足限制条件（每个人完成且仅完成一项任务、每项任务有且仅有一人完成的这种一一对应的关系）的前提下，使得目标函数f达到最小。这是一个典型的分派问题，属于整数规划问题中的一类。

数学建模是联系数学理论和实际问题的桥梁和纽带，是数学学科与社会的交汇，是解决实际问题的一种方法。进入 21 世纪，各个发达国家的数学教育改革中都注重数学建模能力的培养，并把数学建模作为重要的教学目标。

数学建模可被视为一种有力的思考方式，它运用数学语言和方法，通过抽象和简化，创建了能够近似刻画和解决实际问题的强大工具。

数学建模是一种运用数学逻辑解释抽象事物的方 法解释客观事物发展规律，是运用数学语言简化需要 解决问题的过程。需要解决的问题包括自然现象、自由落体、价值取向等内在及外在机制，也包括预测、 实验、解释的实际现象等。

从直观角度来看，数学建模使得那些原本只研究数学而不涉足实际应用领域的纯粹数学家能够扮演物理学家、生物学家、经济学家甚至心理学家等多重角色。他们将数学模型视为对实际事物的数学简化，通常以某种抽象形式存在，虽然与真实事物存在本质差异。数学建模提供了一种更科学、更逻辑、更客观、可重复性更强的方式来描述各种现象，使用数学语言描述的事物被称为数学模型。有时，为了进行实验或研究，人们会使用这些抽象的数学模型代替实际物体，从而进行理论上的实验替代。

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象，简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

中国大学生数学建模竞赛是由中国教育部高等教育司与中国工业与应用数学学会共同主办的，旨在提升大学生们利用数学模型和计算机技术解决实际问题的综合能力。竞赛题目通常取自工程技术、管理科学等领域，参赛者需要在规定时间内完成一篇涵盖模型假设、建立与求解，计算方法设计与实现，结果分析与检验，模型改进等方面的论文。竞赛评奖主要依据假设合理性、建模创新性、结果正确性以及文字表述清晰程度。

竞赛采用全国统一竞赛题目，以通讯竞赛方式进行，通常在每年九月初三天内举行。竞赛章程规定，参赛者需提交包括模型假设、建立和求解，计算方法的设计和实现，结果的分析和检验，模型的改进等方面的论文。竞赛每年举办一次，通常在某个周末前后三天内举行。参赛队伍以大学生为单位，每队三人（必须来自同一所学校），不限制专业。竞赛分为本科、专科两组进行，本科生参加本科组竞赛，专科生参加专科组竞赛（也可参加本科组竞赛），研究生不得参加。在竞赛期间，参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，甚至在国际互联网上浏览信息，但不得与队外任何人（包括在网上）进行讨论。竞赛开始后，赛题将在指定网址公布供参赛队下载，参赛队需要在规定时间内完成答卷并准时交卷。每个参赛学校都应责成相关职能部门负责竞赛的组织和纪律监督工作，以确保竞赛的规范性和公正性。

美国大学生数学建模竞赛 (MCM/ICM) 由美国数学及其应用联合会主办， 是唯一的国际性数学建模竞赛， 自1985年以来，美国大学生数学建模竞赛已经成功举办39届，2023年大赛吸引了来自美国、中国、澳大利亚、加拿大、英国、印度等多个国家与地区的高校，包括哥伦比亚大学、纽约大学、剑桥大学、帝国理 工学院、哈佛大学、康奈尔大学以及北京大学、清华大学、上海交通大学、  西安交通大学、华南理工大学等全球众多高校在内的20895支队伍参赛，11296个队伍参加MCM，9563个队伍参加ICM，共评出37项特等奖，获奖率约 0.17%。竞赛要求不超过三个本科未毕业的学生在四天内运用数学建模和其他知识解决一个具体的工程问题，并以英文形式提交论文。

第一类算法：蒙特卡罗算法。蒙特卡罗算法是一种通过计算机仿真解决问题的算法，它依赖随机性模拟来检验自己模型的正确性。在竞赛中，这是常常被使用的一种方法。

第二类算法：数据处理算法。这类算法主要涉及数据拟合、参数估计、插值等数据处理方法。在比赛中，通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法。通常使用MATLAB作为工具来处理数据。

第三类算法：规划类问题算法。包括线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述。通常使用LINDO、Lingo软件来实现这些算法。

第四类算法：图论算法。图论算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决。这类算法需要认真准备。

第五类算法：计算机算法。包括动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等。这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。

第六类算法：最优化理论的非经典算法。包括模拟退火法、神经网络、遗传算法等。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法。对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。

第七类算法：网格算法和穷举法。网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用。当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案。最好使用一些高级语言作为编程工具。

第八类算法：连续离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替导数、求和代替积分等思想是非常重要的。

第九类算法：数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法——比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法，就需要额外编写库函数进行调用。

第十类算法：图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，有时候也会涉及到图形处理的一些基本问题，这时就可以用图象处理的基本思想进行处理。在论文中，为了使读者更好地理解和接受研究内容，插入适当的图片是必不可少的。然而，选择合适的图形以及如何优化其展示方式成为了我们需要解决的关键问题。为了解决这些问题，通常会借助MATLAB进行处理。