可数选择公理（countable axiom of choices）是集合论的一条公理，常记为ACω。该公理断言：每一个非空集合组成的可数集族都有一选择函数，它是选择公理的一种弱形式。

集合论的发展在20世纪初遇到了阻碍，一些悖论相继诞生，引发了第三次数学危机，推动了公理化集合论的进程。选择公理与有穷理论有关，1888年，戴德金（Richard Dedekind）给出了有穷性的一个定义，称作D-有穷。1904年，德国数学家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在证明良序定理时第一次明确提出了选择公理，从此，学术界开始了对选择公理的探讨和争论。由于选择公理过强，许多公理的弱形式被提出，梅切尔斯基（Mycielski）等人证明了可数选择公理成立，并证实了存在亨利·勒贝格不可测的集合。罗素（Russell）、塔斯基（Tarski）等人在著作和文章中对有穷集合理论进行了研究，肯定了可数选择公理的意义。1942年，贝尔奈斯（Bernays, P.）提出相关选择公理，并证明了可数选择公理比它弱。

除可数选择公理外，选择公理的弱形式还包括良序选择公理和相关选择公理，它们存在这样的关系：良序选择公理相关选择公理可数选择公理。与选择公理不同，可数选择公理与决定性公理是相容的。可数选择公理还可以证明某些结论，如，每个无限集都有一个可数子集。

可数选择公理是选择公理的一种较弱的形式，常记为。该公理断言：每一个非空集合组成的可数集族有一选择函数，即：

，

对任何，有。由此公理可推出可数个可数集的并集可数，实数集不是可数个可数集的并集，每个无穷集有可数子集等，但不能推出实数集的可良序化的结论。

集合论的发展在20世纪初遇到了阻碍，一些悖论相继诞生，引发了第三次数学危机，推动了公理化集合论的进程。选择公理与有穷理论有关，1888年，戴德金（Richard Dedekind）给出了有穷性的一个定义，称作D-有穷。1904年，恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在证明良序定理时第一次明确提出了选择公理，但是有许多遗留问题没有被解决，从此，学术界就开始了对选择公理的探讨和争论。

由于选择公理过强，许多公理的弱形式被提出。梅切尔斯基（Mycielski）等人证明了可数选择公理成立，即实数非空集合的每一可数子集都有一选择函数，并证实了存在亨利·勒贝格不可测的集合。伯特兰·阿瑟·威廉·罗素（Russell）和阿尔弗雷德·怀特黑德（A.N.Whitehead）在《数学原理》一书中说明了用可数选择公理就可以证明有穷集合都是D-有穷的。但是，到了1924年，在谢宾斯基（Sierpinski）的影响下，塔斯基（Tarski）在文章中指出，许多关于有穷集合的命题如果换为D-有穷，则需要可数选择公理，并给出了有穷集合的多种定义方法，等价性的证明不一定需要可数选择公理。1942年，贝尔奈斯（Bernays, P.）提出相关选择公理，并证明了可数选择公理比它弱。1967年，詹森（Jensen）指出，良序选择公理可推出相关选择公理。

定义：选择公理表示对于每个集合系统都有一个选择函数，通常用表示，其等价形式包括：

（1）每个划分都有一个代表元的集合。

（2）如果是一个非空集合的标号系统，那么存在一个函数使得对所有的。此条等价形式也可以等价陈述为：如果对所有的，那么。

联系：强于可数选择公理。

定义：对于每个可良序化的集合（幂集），恒有一个选择函数，简记作。

联系：强于可数选择公理。

定义：设为非空集合，为其上的二元关系。如果对任意都存在使得，则存在的元素的可数序列使得，相关选择公理通常用表示，该公理又称依赖选择公理。

从相关选择公理可以推出可数选择公理，因此相关选择公理是比可数选择公理强的命题。

联系：强于可数选择公理。

对的每一个子集，定义下面的游戏：甲、乙二人对局，甲选取自然数，乙选取自然数，接着甲取数，乙取数，，从而形成二无穷序列：

甲

乙

若所得结果序列在中，则甲胜，否则乙胜。甲的策略为一函数，使得对任何，。乙的策略也为一函数，使得对任何， 。对甲（乙）来说是必胜策略，若甲（乙）运用它作游戏时不管乙（甲）如何去做，他必胜。游戏称为决定的，若甲、乙二人中有一人必有必胜策略。

定义：对每一个，游戏是决定的，决定性公理通常用表示。

联系：决定性公理与选择公理不相容，但与可数选择公理是相容的。

设是一个阿列夫，则

：对于每个非空集的幂集，如果有，则恒有选择函数。

：对于每个，或者。

显然，是可数选择公理，每个基数与可比较即或者，故。这里由也可知，每个无限集恒包含可数集。该推广形式同样可定义相关选择公理，记为。

定理1：设是阿列夫，则

（1）如果，则（若阿列夫，则可良序化，或，则）。

（2）。

（3）如果是奇异基数，则。

（4）如果是极限基数且，则，。

定理2：。

例：每个无限集都有一个可数子集。

证明：设为一无限集。考虑的所有有限集排成的有限列：，其中。由可数选择公理知上有选择使，显然是可数集。

例：在实数空间，一些基本的拓扑性质有两种定义。其一是用语言定义；其二是应用极限列定义。

1.闭集：点，如果

（1）的每个邻域都交于；或

（2）对于内某个点列，有。

2.连续函数：函数在点处连续，如果

（1）；使得；或

（2）只要，则有。

3.紧致集：集是紧致的，如果

（1）是有界闭集；或

（2）内每个点列都有收敛子列，并且。

由可数选择公理知中两种方式定义的概念是分别等价的。

证明：1.显然，这里只证：如果，则对的每个都与相交，所以有选择函数，使。

2.显然，这里只证：如不然，则有对每个有，由可数选择公理知，于是，矛盾，证毕。